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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 74

Em uma área que possui solo arenoso, foram plantadas 50 árvores pequenas de um determinado tipo e outras 50 foram plantadas em uma área de solo argiloso. Sejam X   número de árvores plantadas no solo arenoso que sobrevivem 1 ano, e Y número de árvores plantadas no solo argiloso que sobrevivem 1 ano. Se a probabilidade de a árvore plantada no solo arenoso sobreviver 1 ano for de 0,7 e de sobreviver 1 ano no solo argiloso for de 0,6, calcule uma aproximação a P ( - 5 ≤ X - Y ≤ 5 ) (não se preocupe com a correção de continuidade).

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Precisamos calcular uma aproximação da probabilidade, e as variáveis aleatórias X e Y tem distribuição aproximadamente normal.

A variável aleatória X tem o valor médio:

μ X = 50 ∙ 0,7 = 35

Onde, 50 é o número de árvores pequenas e a probabilidade de que uma árvore plantada em solo arenoso sobreviva um ano é 0,7 . Logo, nós esperamos que sobreviva 35 árvores.

Para Y temos o seguinte valor médio:

μ Y = 50 ∙ 0,6 = 30

Onde, os valores foram definidos de forma similar a X .

A variância de X é:

σ X 2 = 50 ∙ 0,7 ∙ 1 - 0,7 = 10,5

Como temos uma distribuição binomial, usando a fórmula n ∙ p ∙ ( 1 - p ) para calcularmos a variância.

Da mesma forma para Y .

σ Y 2 = 50 ∙ 0,6 ∙ 1 - 0,6 = 12

Estamos quase lá!! O valor esperado da variável aleatória X - Y é:

μ X - Y = E X - Y = E X - E Y = 35 - 30 = 5

E a variância:

σ X - Y 2 = 1 2 σ X 2 + - 1 2 σ Y 2 = 10,5 + 12 = 22,5

Finalmente, podemos calcular a probabilidade da seguinte forma:

P - 5 ≤ X - Y ≤ 5 = P - 5 - 5 22,5 ≤ X - Y - μ X - Y σ X - Y ≤ 5 - 5 22,5

= P ( - 2,11 ≤ Z ≤ 0 )

= P Z ≤ 0 - P ( Z ≤ - 2,11 )

= 0,5 - 0,0174

P - 5 ≤ X - Y ≤ 5 = 0,4826

Resposta

P - 5 ≤ X - Y ≤ 5 = 0,4826

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