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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 66

Se duas cargas são aplicadas a uma viga em balanço, conforme mostra o desenho a seguir, o momento fletor em 0 devido às cargas é a 1 X 1 + a 2 X 2 .

a. Suponha que X 1 e X 2 sejam vas independentes com médias de 2 e 4 kips / 2000 e 4000 lb, respectivamente, e desvios padrão de 0,5 e 1,0 kip / 500 e 100 lb, respectivamente. Se a 1 = 5 ft / 1,52 m e a 2 = 10 ft / 3,04 m, qual é o momento fletor esperado e qual é o seu desvio padrão?

b. Se X 1 e X 2 são normalmente distribuídos, qual é a probabilidade de o momento fletor exceder 75 kip-ft?

c. Suponha que as posições das duas cargas sejam variáveis aleatórias. Representando-as por A 1 e A 2 , assuma que essas variáveis tenham médias de 5 ft e 10 ft, respectivamente, que cada uma tenha desvio padrão de 0,5 e que todos os A i s e X i s sejam independentes uns dos outros. Qual é o momento esperado, agora?

d. Para a situação da parte (c), qual é a variância do momento fletor?

e. Se a situação for a descrita na parte (a), exceto pelo fato de que C o r r X 1 ,   X 2 = 0,5 (de modo que as duas cargas não sejam independentes), qual é a variância do momento fletor?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Antes de tudo, precisamos definir os dados do enunciado. O enunciado nos fornece as seguintes informações:

μ X 1 = 2

μ X 2 = 4

σ X 1 = 0,5

σ X 2 = 1

a 1 = 5

a 2 = 10

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

σ W = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

Então, para o nosso exemplo W = a 1 X 1 + a 2 X 2 = 5 X 1 + 10 X 2 .

μ 5 X 1 + 10 X 2 = 5 μ X 1 + 10 μ X 2 = 5 2 + 10 4 = 50

σ 5 X 1 + 10 X 2 = 5 2 σ X 1 2 + 10 2 σ X 2 2 = 25 0,5 2 + 100 1 2 = 10,3078

Passo 3

A probabilidade da letra (b) pode ser encontrando achando a variável z do exemplo:

z = x - μ σ = 75 - 50 106,25 = 2,43

Determinando a probabilidade.

P 5 μ X 1 + 10 μ X 2 > 75 = P ( Z > 2,43 )

= 1 - P ( Z < 2,43 )

= 1 - 0,9925

P 5 μ X 1 + 10 μ X 2 > 75 = 0,75 %

Passo 4

Para a letra (c) os dados são:

μ A 1 = 5

μ A 2 = 10

σ A 1 = 0,5

σ A 2 = 0,5

Usando as propriedades para o valor esperado de variáveis aleatórias, encontramos:

E A 1 X 1 + A 2 X 2 = E A 1 X 1 + E ( A 2 X 2 )

= μ A 1 μ X 1 + μ A 2 μ X 2

= 5 2 + 10 ( 4 )

E A 1 X 1 + A 2 X 2 = 50

Passo 5

Usando os mesmos dados da letra (c).

V A 1 X 1 + A 2 X 2 = E A 1 2 X 1 2 + E A 1 X 1 2 + E A 2 2 X 2 2 + E A 2 X 2 2

= σ A 1 2 σ X 1 2 + σ A 1 2 μ X 1 2 + σ X 1 2 μ A 1 2 + σ A 2 2 σ X 2 2 + σ A 2 2 μ X 2 2 + σ X 2 2 μ A 2 2

= 1785 16

V A 1 X 1 + A 2 X 2 = 111,5625

Passo 6

De forma similar ao que fizemos no Passo 2, mas agora as variáveis são independentes, e temos uma pequena mudança no desvio padrão

Para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 + 2 a b C o v ( X 1 , X 2 )

Onde, C o v X 1 , X 2 = σ X 1 σ X 2 C o r r ( X 1 ,   X 2 ) .

Então, para o nosso exemplo W = a 1 X 1 + a 2 X 2 = 5 X 1 + 10 X 2 .

σ 5 X 1 + 10 X 2 2 = 5 2 σ X 1 2 + 10 2 σ X 2 2 + 2 5 10 C o v ( X 1 , X 2 )

= 25 0,5 2 + 100 1 2 + 100 0,5 1 0,5

σ 5 X 1 + 10 X 2 2 = 131,25

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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