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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 71

No Exercício 66, o peso próprio da viga contribui para o momento fletor. Assuma que a viga seja de espessura e densidade uniformes, de modo que a carga resultante seja distribuída uniformemente. Se o peso da viga for aleatório, a carga resultante do peso também será; represente essa carga por W (kip-ft).

a. Se a viga tem 12 pés de comprimento, W tem média de 1,5 e desvio padrão de 0,25 e as cargas fixas são as descritas na parte (a) do Exercício 66, quais são o valor esperado e a variância do momento fletor? (Sugestão: se a carga, devido à viga, fosse w kip-pé, a contribuição para o momento fletor seria w   ∫ 0 12 x d x .)

b. Se as três variáveis ( X 1 , X 2 , e W ) são normalmente distribuídas, qual é a probabilidade de o momento fletor ser de no máximo 200 kip-ft?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão precisamos apenas organizar as informações do enunciado e usar os resultados do Exercício 66. Bora lá!!!

Passo 2

A variável aleatória que descreve o momento fletor como B . O momento fletor pode ser representado da seguinte forma:

B = a 1 X 1 + a 2 X 2 + W ∫ 0 12 x d x

B = a 1 X 1 + a 2 X 2 + 72 W

Os valores para a 1 e a 2 são encontrados no Exercício 66.

B = 5 X 1 + 10 X 2 + 72 W

Logo, o valor esperado momento fletor é:

E B = E 5 X 1 + 10 X 2 + 72 W

= 5 E X 1 + 10 E X 2 + 72 E ( W )

= 5 ∙ 2 + 10 ∙ 4 + 72 ∙ 1,5

E B = 158

E a variância é:

V B = V ( 5 X 1 + 10 X 2 + 72 W )

= 5 2 V X 1 + 10 2 V X 2 + 72 2 V ( W )

= 5 2 ∙ 0,5 2 + 10 2 ∙ 1 2 + 72 2 ∙ 0,25 2

V B = 430,25

Passo 3

Assumindo que as variáveis aleatórias são normalmente distribuídas. Podemos calcular a probabilidade da seguinte forma:

P B ≤ 200 = P B - E B σ B ≤ 200 - 158 20,74

= P ( Z ≤ 2,03 )

P B ≤ 200 = 0,9788

Resposta

  1. E B = 158             V B = 430,25      

  2. P B ≤ 200 = 0,9788

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