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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 73

Suponha que a resistência de tração esperada do aço tipo A seja 105 ksi e que o desvio padrão da resistência de tração seja 8 ksi. Para o aço tipo B, suponha que a resistência de tração esperada e o desvio padrão da resistência de tração sejam 100 ksi e 6 ksi, respectivamente. Seja X - = a resistência de tração média de uma amostra aleatória de 40 espécimes tipo A , e por Y - = a resistência de tração média de uma amostra aleatória de 35 espécimes tipo B.

a. Qual é a distribuição aproximada de X - ? De Y - ?

b. Qual é a distribuição aproximada de X - - Y - ? Justifique sua resposta.

c. Calcule (aproximadamente) P ( - 1 ≤ X - - Y - ≤ 1 ).

d. Calcule P ( X - - Y - ≥ 10 ) . Se realmente observou X - - Y - ≥ 10 , você duvidaria que μ 1 - μ 2 = 5 ?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Os dados que podemos extrair do enunciado são os seguintes:

μ X = 105

σ x = 8

μ Y = 100

σ Y = 6

n X = 40

n Y = 35

Agora, podemos partir pra os cálculos!!

Passo 2

A distribuição amostral da média amostral x - tem média μ e desvio padrão σ / n .

μ x - = μ X = 105

σ x - = σ X n = 8 40 = 1,2649

Para y - a média e o desvio padrão são dados pelas mesmas fórmulas. Logo,

μ y - = μ Y = 10 0

σ y - = σ Y n = 6 35 = 1 , 0142

Passo 3

Para uma combinação linear W = a X 1 + b X 2 , a média, a variância e o desvio padrão são:

μ W = a μ 1 + b μ 2

σ W 2 = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

σ W = a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2

Então, para o nosso exemplo temos:

μ x - - y - = μ x - - μ y - = 105 - 100 = 5

σ x - - y - = σ x - 2 + - 1 2 σ y - 2 = 1,2649 2 + 1,0142 2 = 1,6213

Passo 4

A variável z pode ser calculada da seguinte forma:

z = x - μ σ = 1 - 5 1,6213 = - 2,47

z = x - μ σ = 1 - 5 1,6213 = - 3,70

Sendo assim, a probabilidade pedida pelo enunciado é:

P - 1 ≤ X - - Y - ≤ 1 = P - 3,7 < Z < - 2,47

= P Z < - 2,47 - P ( Z < - 3,7 )

= 0,0068 - 0

P - 1 ≤ X - - Y - ≤ 1 = 0,68 %

Passo 5

Por fim, a última probabilidade que precisamos calcular é:

P X - - Y - ≥ 10 = P Z > 10 - 5 1,6213

= P ( Z > 3,08 )

= 1 - P ( Z < 3,08 )

= 1 - 0,999

P X - - Y - ≥ 10 = 0,1 %

Como a probabilidade acima é muito pequena, nós duvidaríamos de μ 1 - μ 2 = 5 .

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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