12-13.Um artigo em Optical Engineering,COperating cur

extraction

of a correlator's fhter"-Hxtracao da curva operacional de um filtro

de correlator,2004.Vol.43.pp.2775-2779)reportou o uso de um

correlator optico para fazer um experimento,variando o brilho eo con-

traste.A modulacao resultante e caracterizada pela faixa titil de niveis

de cinza.Os dados sao mostrados a seguir:

Brilho():

54 6165100 100100

50 57 54

Contraste(%):

56 80 70 50 65 80 25 35 26

Faixa util(ng):

96 50 50 112 96 80 155 144 255

(a)Ajuste um modelo de regressao lincar multipla a esses dados.

(blEstime o.

(e)Caleule os erros-padrao dos coeficientes de regressao.

(d)Preveja a faixa titil.quando o britho for 80 e o contraste for 75.

Passo 1

Letra a:

A matriz X então contém 1's na primeira coluna, os valores x 1 na segunda coluna, os valores x 2 na terceira coluna:

X = 1 54 56 1 61 80 1 65 70 … 1 54 26

A matriz y contém os valores y:

y = 96 50 50 … 255

Os coeficientes da equação de predição de segunda ordem são então encontrados calculando X T X - 1 ( X y )

β ^ = X T X - 1 X ' y = 238.5569 0.3339 - 2.7167

A equação de regressão então se torna:

y ^ = 238.5569 + 0.3339 x 1 - 2.7167 x 2

Passo 2

Letra b:

A soma dos quadrados dos erros é:

S S E = y ' y - y ' X X T X - 1 X T y = [ 56.8546 ]

A estimativa da variância σ 2 é então o erro de quadrados dividido pela diferença do tamanho da amostra e o número de parâmetros (número de colunas de X ' X - 1

σ ^ 2 = S S E n - p = 56.8546 9 - 3 = 56.8546 6 ≈ 7927.6361

Passo 3

Letra c:

X T X - 1 = 1.5482 … … … 0.0003 … … … 0.0004

O erro padrão é a raiz quadrada do produto da estimativa da variância σ 2 e o elemento C i i da matriz X ' X - 1 :

S E β 0 = σ ^ 2 C 00 = 7927.6361 1.5482 ≈ 110.786 S E β ^ 1 = σ ^ 2 C 11 = 7927.6361 0.0003 ≈ 1.5422 S E β ^ 2 = σ ^ 2 C 22 = 7927.6361 0.0004 ≈ 1.7808

Passo 4

Letra d:

Substitua x 1 na equação de regressão por 80, x 2 por 75:

  y ^ = 238.5569 + 0.3339 ( 80 ) - 2.7167 ( 75 ) = 61.5164

Resposta

  1. y ^ = 238.5569 + 0.3339 x 1 - 2.7167 x 2
  2. 7927.6361
  3. 110.786,1.5422,1.7808
  4. 61.5164
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