O artigo “Photocharge Effects in Dye Sensitized Ag(Br,I] Emulsions at Millisecond Range Exposures” (Photographic Sci. and Engr., 1981, p. 138–144) apresenta os dados a seguir sobre x % de absorção de luz em 5800 A e y = fotovoltagem de pico.

a. Construa um gráfico de dispersão desses dados. O que ele sugere? b. Supondo que o modelo de regressão linear simples seja apropriado, obtenha a equação da reta de regressão estimada. c. Que proporção da variação observada na fotovoltagem de pico pode ser explicada pela relação do modelo? d. Preveja a fotovoltagem de pico quando a % de absorção for 19,1 e calcule o valor do resíduo correspondente. e. Os autores desse artigo afirmam que existe uma relação linear útil entre a % de absorção e a fotovoltagem de pico. Você concorda? Realize um teste formal. f. Apresente uma estimativa da mudança na fotovoltagem de pico esperada, associada com um aumento de 1% na absorção de luz. Sua estimativa deve transmitir informações sobre a precisão da estimação. g. Repita o item (f) para o valor esperado de fotovoltagem de pico quando a % de absorção for 20.

Passo 1

  1. A estimativa de mínimos quadrados da inclinação é
  2. b 1 = β ^ 1 = ∑ x i - x ¯ ( y i - y ¯ ) ∑ ( x i - x ¯ ) ² = S x y S x x

    S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

    S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

    A estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

    β ^ 0 = y ¯ - β ^ 1 x ¯

    Usando os valores dados no exercício, a estimativa de S x y é

    S X y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

    = 660.130 - 1 11 ∙ 205.4 ∙ 35.16 = 3.597

    S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

    = 3880.08 - 1 11 205.5 2 = 44.702

    b 1 = β ^ 1 = S x y S x x = 3.597 44.702 = 0.08

    b 0   = β ^ 0 = ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i n = y ¯ - β ^ 1 x ¯

    = 1 11 ∙ 35.16 - 0.08 ∙ 1 11 ∙ 205.4

    = 1.694

    O modelo de regressão linear simples para prever a taxa de passada a partir da velocidade é

    y ^ = 1.694 + 0.08 x

    Passo 2

  3. Agora x é a taxa de passada enquanto y representa a velocidade.
  4. Usando os valores fornecidos no exercício, a estimativa de S x y é

    E o valor de S x x

    assim, a estimativa da inclinação é

    A estimativa do intercepto é

    O modelo de regressão linear simples para prever a velocidade a partir da taxa de passada é

    y ^ = - 20.58 + 12.117 x

    Passo 3

  5. O coeficiente de determinação, r 2 , é

r 2 = 1 - S S E S S T

A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

S S E = ∑ y i - y i ^ 2 = ∑ [ y i - ( β ^ 0 + β ^ 1 x i )   ] ²  

A fórmula computacional para SSE é

S S E = ∑ y i 2 - β ^ 0 ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i y i = S y y - β ^ 1 S x y

A soma total dos quadrados é

S S T =   S y y = ∑ y i - y ¯ 2 = ∑ y i 2 - 1 n ∑ y i 2

No entanto, o coeficiente de determinação pode ser calculado usando a fórmula

r 2   = β ^ 1 2 ∙ S x x S y y  

Os dados não são fornecidos; assim, esta é a única maneira de calcular o coeficiente de determinação.

No caso de (a), o coeficiente de determinação é

r 2   = β ^ 1 2 ∙ S x x S y y = 0.08 2 ∙ 44.702 0.297 = 0.97

no caso de (b) (b), o coeficiente de determinação é

r 2   = β ^ 1 2 ∙ S x x S y y = 12.117 2 ∙ 0.297 44.702 = 0.97

Isso é esperado. Se você não obtiver o mesmo valor para o coeficiente de determinação, talvez seja por causa do arredondamento - eles devem ser exatamente os mesmos!

Resposta

  1. y ^ = 1.694 + 0.08 x
  2. y ^ = - 20.058 + 12.117 x
  3. r 2 = 0.97
  4. r 2 = 0.97

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