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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 115

Um artigo na revista Journal of Geophysical Research., “Spatial and temporal distributions of U.S. of wind power at 80 m derived from measurements” - “Distribuições espacial e temporal de ventos e potências de ventos americanos” (2003. Vol 108, pp. 10-1:10-20) considerou a velocidade do vento em estações em todos os Estados Unidos. Uma distribuição de Weibull pode ser usada para modelar a distribuição de velocidades de vento em uma dada localização. Cada localização é caracterizada oppr um parametro particular de forma e de escala. Para uma estação em Amarilo, Texas, a velocidade média do vento a 80m(a altura do ponto mais alto de grandes turbinas de vento) em 2000 era de 10.3m/s, com um desvio-padrão de 4.9m/s. Determine os parâmetros de forma e de escala de uma distribuição de Weibull com essas propriedades.

Passo 1

Recorde as fórmulas para a média e variância da variável aleatória de Weibull X:

μ = E ( X ) = δ Γ ( 1 + 1 β )

σ 2 = V a r ( X ) = δ 2 Γ ( 1 + 2 β ) - δ 2 Γ ( 1 + 1 β ) 2

Os valores de média e variância são dados e temos que determinar os parâmetros δ e β . Vamos eliminar δ dessas duas equações para obter:

σ 2 = μ 2 Γ ( 1 + 2 β ) Γ 2 ( 1 + 1 β ) - μ 2

E então:

μ 2 Γ ( 1 + 2 β ) Γ 2 ( 1 + 1 β ) = σ 2 + μ 2 μ 2

Passo 2

O lado direito é conhecido ( ≈ 1.22632), e o lado esquerdo é uma função complicada de parâmetro desconhecido. Vamos ter que usar o software Wolfram alpha ou semelhante para encontrar:

β = 2.22

Agora, vamos calcular δ :

δ = μ Γ ( 1 + 1 β ) ≈ 10.3 0.886 ≈ 11.6

Resposta

β = 2.22

δ = 11.6

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