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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 6

(a) Seja X uma variável aleatória discreta cujos valores possíveis são 1,2, .... Se P{X = k] é não decrescente em k = 1, 2, ..., demonstre que

P X = k ≤ 2 E X k 2

(b) Seja X uma variável aleatória contínua não negativa com função densidade não decrescente. Mostre que

f x = 2 E X x 2

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Para demonstrarmos, o valor esperado da variável aleatória é:

E X = ∑ x = 1 ∞ x P ( X = k )

E X ≥ ∑ x = 1 k x P ( X = k )

E X ≥ P ( X = k ) ∑ x = 1 k x

Fazendo os ajustes:

E X ≥ P X = k k k + 1 2  

E X ≥ P X = k k 2 2  

Portanto:

P X = k ≤ 2 E X k 2

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b). Aqui, o valor esperado da variável aleatória é:

E X = ∫ 0 ∞ x f X x d x

E X ≥ ∫ 0 ∞ x f X x d x

Resolvendo a integral:

E X ≥ f X x x 2 2

f X x ≤ 2 x 2 E X

Resposta

a )   P X = k ≤ 2 E X k 2

b )   f X x ≤ 2 x 2 E X

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