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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 41

Um baralho de 52 cartas é embaralhado e então dividido em dois maços de 26 cartas cada. Uma carta é retirada de um dos maços; ela é um ás. O ás é então colocado no segundo maço. Este maço é então embaralhado e uma carta é retirada dele.

Calcule a probabilidade de que a carta retirada seja um ás.

Dica: condicione na possibilidade da carta retirada ser aquela que foi trocada.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos primeiramente identificar os eventos, com isso, nós temos os seguintes eventos (baseados na interpretação da questão)

A i - O   s e g u n d o   b a r a l h o   o r i g i n a l m e n t e   t i n h a   i   a s e s ,   i   p o d e   s e r   0,1 , 2,3 , 4

A - E v e n t o   e m   q u e   u m   á s   é   r e t i r a d o   d o   p r i m e i r o   b a r a l h o

B -   A   c a r t a   e s c o l h i d a   d o   s e g u n d o   b a r a l h o   é   a   q u e   e s t a v a   n o   p r i m e i r o   b a r a l h o .  

C -   U m   á s   f o i   r e t i r a d o   d o   s e g u n d o   b a r a l h o

Vamos calcular a seguinte probabilidade P ( C | A ) , que podemos reescrever da seguinte forma P A ( C ) . Vamos trabalhar tudo com probabilidade P A , probabilidade condicional em A, condicionando se B aconteceu

P A C = P A C B P A B + P A C B C P A ( B C )

B é que na carta precisa (a original do primeiro baralho) é escolhida do baralho de 27 cartas:

P A B = 1 27   e   P A B C = 26 27

Como neste espaço de resultado um ás é transferido para o segundo baralho (A) se essa carta for escolhida (B), certamente é um ás (C)

P A C B = 1

Cada uma das 52 cartas tem a mesma probabilidade de ser a carta retirada do segundo baralho, se for uma das originais e 3 delas forem ases.

P A C B C = 3 52

Isso não é totalmente evidente, então uma prova será fornecida

Passo 2

para a condição P A ( C | B C ) sobre se A 0 , A 1 , A 2 , A 3   o u   A 4 aconteceu, estes formam um sistema completo de eventos:

P C B C = P A C B C A 0 P A A 0 + P A C B C A 1 P A A 1 + P A C B C A 2 P A A 2 + P A C B C A 3 P A A 3 + P A C B C A 4 P A A 4  

Isso é possível que B seja independente de eventos   A 0 ,   A 1 , … , assim, por exemplo

P A C B C A 0 P A A 0 = P A C B C A 0 P A B C A 0 ∙ P A 0 = P A C B C A 0 P A B C ∙ P A A 0 ∙ P A A 0 = P A ( C A 0 | B C )

Então vamos calcular cada uma das probabilidades P ( A A i ) , com isso, temos

P A A 0 = P A A 0 ∙ P A 0 = 4 26 ∙ 1 2 4

P A A 1 = P A A 1 ∙ P A 1 = 3 26 ∙ 4 2 4

P A A 2 = P A A 2 ∙ P A 2 = 2 26 ∙ 4 2 2 4

P A A 3 = P A A 3 ∙ P A 3 = 1 26 ∙ 1 2 4

P A A 4 = P A A 4 ∙ P A 4 = 0 26 ∙ 1 2 4 = 0

Somando tudo, nós temos

P A = 1 13

Passo 3

Agora vamos usar a probabilidade condicional para P A ( A i ) , com isso, temos

1° caso

P A A 0 = P A A 0 P A = 4 26 ∙ 1 2 4 1 13 = 1 8

2° caso

P A A 1 = P A A 1 P A = 3 26 ∙ 4 2 4 1 13 = 3 8

3° caso

P A A 2 = P A A 2 P A = 2 26 ∙ 6 2 4 1 13 = 3 8

4° caso

P A A 3 = P A A 3 P A = 1 26 ∙ 4 2 4 1 13 = 1 8

E o último caso vai ser igual a zero. Para P A C B C A i , cada uma das 26 cartas originais tem a mesma probabilidade de ser escolhida, e i delas são ases, então

P A C B C A i = i 26

Com isso, para P A C B C , nós temos que

P A C B C = 0 26 ∙ 1 8 + 1 26 ∙ 3 8 + 2 26 ∙ 3 8 + 3 26 ∙ 1 8 + 4 26 ∙ 0 8 = 12 26 ∙ 8 = 3 52    

Passo 4

Finalmente, a fórmula inicial produz

P A C = P A C B P B + P A C B C P B C

Substituindo os valores, nós temos que

P A C = 1 ∙ 1 27 + 3 52 ∙ 26 27 = 5 54

O que nos dá aproximadamente

P A C ≈ 9,26 %

Resposta

P A C ≈ 9,26 %

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