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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 50

Suponha que uma companhia de seguros classifique as pessoas em uma de três classes: risco baixo, risco médio e risco elevado. Os registros da companhia indicam que as probabilidades de que pessoas com riscos baixo, médio e elevado estejam envolvidas em acidentes ao longo do período de um ano são de 0,05, 0,15 e 0,30. Se 20% da população são classificados como de risco baixo, 50% de risco médio e 30% de risco elevado, que proporção de pessoas sofre acidentes ao longo de um ano? Se o segurado A não sofreu acidentes em 1997, qual é a probabilidade de que ele ou ela seja uma pessoa de risco baixo ou médio?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar os eventos, relacionados aos riscos dados pela seguradora

G - U m a   p e s s o a   q u e   e s t á   n a   c a t e g o r i a   r i s c o   b a i x o

M - U m a   p e s s o a   q u e   e s t á   n a   c a t e g o r i a   r i s c o   m é d i o  

B - U m a   p e s s o a   q u e   e s t á   n a   c a t e g o r i a   r i s c o   e l e v a d o  

A - U m a   p e s s o a   t e m   u m   a c i d e n t e   e m   u m   a n o   f i x o

Algumas probabilidades são ditas no enunciado, como as porcentagens para as populações de risco, então

P G = 0,2

P M = 0,5

P B = 0,3

Como nós também sabemos pelo enunciado quais pessoas sofreram acidente dado um tipo de risco, nós temos condições nessas probabilidades, e logo, essas mesmas probabilidades são condicionais, identificando, nós temos que

P A G = 0,05

P A M = 0,15

P A B = 0,30

Nós temos que calcular a probabilidade de A, e a probabilidade da união entre riscos baixo e médio caso a pessoa não sofra acidentes, colocando isso no matematiquês, temos

P A   e   P ( G ∪ M | A C )

São essas as probabilidades que vamos calcular 😊

Passo 2

P A pode ser obtida condicionando se uma pessoa é um risco bom, médio ou ruim, para isso, podemos usar a seguinte propriedade:

P A = P A G P G + P A M P M + P A B P ( B )

Substituindo os valores, nós temos que:

P A = 0,05 ∙ 0,2 + 0,15 ∙ 0,5 + 0,3 ∙ 0,3 = 0,01 + 0,075 + 0,09

Com isso, temos que

P A = 0,175

Passo 3

Como a probabilidade condicional é uma probabilidade e os eventos G e M são eventos mutuamente exclusivos, mas como estamos utilizando a união de dois eventos como resultado de uma condição, vamos utilizar o seguinte axioma

P G ∪ M A C = P G A C + P ( M | A C )

Desse termo P ( G | A C ) , podemos usar o conceito de probabilidade condicional

P G A C = P G A C P A C

Como P A = 0,175 , podemos calcular sua probabilidade complementar, com isso, nós temos

P A C = 1 - P A = 1 - 0,175 = 0,825

Para o caso da definição de P ( A C | G ) , nós temos que:

P G A C = P A C G P ( G )

Tirando o complementar, nós temos que

P A C G = 1 - P A G = 0,95

Juntando todos os elementos, nós temos o valor de P ( G | A C )

P G A C = 0,95 ∙ 0,2 0,825

Esse valor nos dá aproximadamente

P G A C ≈ 0,2303

Passo 4

O mesmo pensamento é aplicado para P ( M | A C )

P M A C = P M A C P A C

Nós já conhecemos a probabilidade complementar de A, agora, é somente manipular a probabilidade de P ( M A C )

P M A C = P A C M P M   e     P A C M = 1 - P ( A | M )

Com isso, nós temos que

P M A C = 0,85 ∙ 0,5 = 0,425

Com isso, obtemos o seguinte resultado

P M A C = 0,425 0,825 ≈ 0,5152

Agora, já podemos obter o resultado de P G ∪ M A C = P G A C + P ( M | A C )  

P G ∪ M A C ≈ 0,5152 + 0,2303

E finalmente, obtemos o seguinte resultado

P G ∪ M A C ≈ 0,7455

Resposta

P G ∪ M A C ≈ 0,7455

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