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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 5

Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da v.a. X do Problema 2.

Passo 1

Sabemos que a f.d.p da v.a X do Problema 2 é

f x = 0 ,     x < 0 4 x ,     0 ≤ x ≤ 1 / 2 4 1 - x , 1 2 ≤ x ≤ 1 0 ,     x > 1

Para calcularmos a esperança usaremos a seguinte equação:

E X = ∫ Ω x . f x   d x

Passo 2

Substituindo teremos:

E X = ∫ 0 1 2 x . 4 x   d x   + ∫ 1 2 1 x . 4 1 - x d x = ∫ 0 1 2 4 x 2   d x   + ∫ 1 2 1 4 x - x 2 d x =

= 4 × x 3 3 0 1 2 + 4 × x 2 2 - x 3 3 = 4 × 1 24 + 1 2 - 1 3 - 1 8 - 1 24 =

= 4 × 1 24 + 1 6 - 2 24 = 4 × 3 24 = 1 2

Passo 3

Para Var(X) utilizaremos a seguinte equação:

V a r X = E X 2 - E X 2

Como já temos E X precisamos agora encontrar E ( X 2 ) :

E X = ∫ Ω x 2 . f x   d x

E X 2 = ∫ 0 1 2 x 2 . 4 x   d x   + ∫ 1 2 1 x 2 . 4 1 - x d x = ∫ 0 1 2 4 x 3   d x   + ∫ 1 2 1 4 x 2 - x 3 d x =

= 4 × x 4 4 0 1 2 + 4 × x 3 3 - x 4 4 = 4 × 1 64 + 1 3 - 1 4 - 1 24 - 1 64 =

= 4 × 1 32 + 1 3 - 1 4 - 1 24 = 4 × 7 × 1 96 = 7 24

Assim teremos que:

V a r X = 7 24 - 1 2 2 = 7 24 - 1 4 = 7 - 6 24 = 1 24

Passo 4

Para calcularmos a f.d.a. usaremos a seguinte equação:

F x = ∫ - ∞ x f s   d s

Substituindo teremos:

  • 0 ≤ x ≤ 1 2

    • F x =   ∫ 0 x 4 s   d s = 4 × s 2 2 0 x = 2 x 2

  • 1 2 ≤ x ≤ 1

F x = ∫ 1 2 x 4 1 - s   d s = 4 × s - s 2 2 1 2 x = 4 × x - x 2 2 - 1 2 - 1 8 =

= 4 x - x 2 2 - 3 8 + 1 2 = 4 x - 2 x 2 - 3 2 + 1 2 = 4 x - 2 x 2 - 1

Escrevendo mais bonitinho...

F x = 0 ,     x < 0 x 2 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 2 4 x - 2 x 2 - 1 , 1 2 < x ≤ 1

Resposta

E X = 1 2 ; V a r X = 1 24 ;   F x = 0 ,     x < 0 2 x 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 2 4 x - 2 x 2 - 1 , 1 2 < x ≤ 1

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