Exercícios de Medidas de Centralidade e Dispersão para V.A. Contínua - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da variável aleatória com a densidade triangular em .

A v.a. contínua tem a f.d.p.

a) Se b for um número que satisfaz , calcule

b) Calcule e

A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:

1. Calcule o valor esperado e a variância de .
2. Suponha que o preço de venda do produto dependa da proporção de álcool. Se o produto é vendido por reais/l, caso contrário por reais/l. Expresse em função de e a distribuição de probabilidades do lucro líquido por litro de produto, supondo que o custo por litro é de reais.

Sabemos que a esperança e a variância de uma v.a. podem ser encaradas, respectivamente, como a abscissa do centro de gravidade e o momento de inércia de uma distribuição de massa, e que isso vale tanto no caso discreto como no caso contínuo. Admita que a função de densidade da v.a. contínua é dada por:

1. Determine e Dica: Fazer um gráfico da função.
2. Admita agora que é uma v.a. discreta que só pode assumir três valores: e . Obtenha a função de probabilidade da v.a. , sabendo que e Isso significa que ambas as distribuições de massa têm o mesmo centro de gravidade e o mesmo momento de inércia, embora uma seja contínua e a outra seja discreta.

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp:

1. Deduza e faça o gráfico.
2. Qual é a probabilidade de o tempo de reação ser no máximo segundos?
3. Entre e segundos?
4. Calcule o tempo de reação esperado.
5. Calcule o desvio padrão do tempo de reação.

Uma variável aleatória tem função de distribuição acumulada dada por

Calcule e

A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:

.

1. Calcule o desvio padrão (em s.m.) dessa variável;
2. Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5% (ou seja, ) desses profissionais.

Sabemos que a esperança e a variância de uma v.a. podem ser encaradas, respectivamente, como a abscissa do centro de gravidade e o momento de inércia de uma distribuição de massa, e que isso vale tanto no caso discreto como no caso contínuo. Admita que a função de densidade da v.a. contínua é dada por:

1. Determine e Dica: Fazer um gráfico da função.
2. Admita agora que é uma v.a. discreta que só pode assumir três valores: e . Obtenha a função de probabilidade da v.a. , sabendo que e Isso significa que ambas as distribuições de massa têm o mesmo centro de gravidade e o mesmo momento de inércia, embora uma seja contínua e a outra seja discreta.

A distribuição da renda, expressa em salários mínimos (s.m.), dos membros de um sindicato é caracterizada pela função de densidade:

.

1. Calcule o desvio padrão (em s.m.) dessa variável;
2. Determine o nível salarial (em s.m.) abaixo do qual estão os salários de 87,5% (ou seja, ) desses profissionais.

A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:

1. Calcule o valor esperado e a variância de .
2. Suponha que o preço de venda do produto dependa da proporção de álcool. Se o produto é vendido por reais/l, caso contrário por reais/l. Expresse em função de e a distribuição de probabilidades do lucro líquido por litro de produto, supondo que o custo por litro é de reais.

Suponha uma variável aleatória contínua com densidade , com suporte no intervalor [0,2].

1. Ache a constante “” que faz ser uma densidade de probabilidade.
2. Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “”.
3. Calcule a média e a variância da distribuição de “”.

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua com densidade , apenas para .

1. Ache a constante que faz uma densidade.
2. Encontre a função de distribuição acumulada de .
3. Calcule a mediana da distribuição de .

A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua com densidade , apenas para .

1. Calcule a função de distribuição de .
2. Calcule a média, variância e o desvio padrão de .

O tempo de reação (em segundos) a um determinado estímulo é uma variável aleatória contínua com fdp:

1. Deduza e faça o gráfico.
2. Qual é a probabilidade de o tempo de reação ser no máximo segundos?
3. Entre e segundos?
4. Calcule o tempo de reação esperado.
5. Calcule o desvio padrão do tempo de reação.

O prazo adequado para a troca de um amortecedor novo de certa marca em automóveis sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável aleatória contínua, medida em anos. Suponha que a função de densidade dessa variável é dada pela seguinte expressão:

a) Qual a probabilidade de que, para um automóvel, sujeito as condições descritas acima, a vida útil do amortecedor esteja entre 1 e 3 anos de uso?

b) Qual é, em média, a vida útil dos amortecedores dessa marca?

O custo de fábrica de um determinado produto é R$ 500,00 e ele é vendido por R$ 1.000,00 em uma certa loja. Quando um cliente compra esse produto, ele tem direito a 6 meses de garantia e caso o produto apresente defeito nesse prazo, ele trocará por um novo (gerando um prejuízo de R$ 500,00 para a loja). Assuma que essa troca só pode ser feita uma vez por cliente e considere que o tempo até esse produto apresentar defeito (em anos) é uma variável aleatória , cuja função densidade de probabilidade é apresentada abaixo:

a) Qual o valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade desse produto?

b) Considere que a loja oferecerá opção de o cliente pagar um adicional R$ 200,00 por uma garantia estendida, que aumenta em 1 ano o prazo para a troca em caso de defeito. O valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade com garantia estendida será maior ou menor do que a garantia padrão? Justifique.

c) Calcule o tempo adicional máximo que loja pode oferecer na garantia estendida de modo que essa opção não leve a um lucro esperado inferior ao de uma venda sem garantia estendida.

A trava se segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra devido ao desgaste. Estudos anteriores admitem que a vida útil dessa trava pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre 0 e 1 ano, com função de densidade de probabilidade dada por:

(b) Determine a vida útil média.

Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

Pede-se:

1. Qual o valor do parâmetro ?
2. Ache a média e a variância de .

Uma determinada mistura de um processo químico demora no mínimo um minuto para começar a reagir e depois disto o tempo (em minutos) até o processo de mistura ser concluído pode ser modelado por uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por para e para .

1. Calcule a variância do tempo até o processo de mistura ser concluído.
2. Calcule a probabilidade do processo demorar menos do que um minuto e meio para ser concluído.

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro.

A distancia (em ) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade:

Existem duas opções de diárias de aluguel:

1. Opção : por rodado;
2. Opção : se rodar até e se rodar mais de num dia.

Ache os valores das opções e e diga qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel?

A trava se segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra devido ao desgaste. Estudos anteriores admitem que a vida útil dessa trava pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre 0 e 1 ano, com função de densidade de probabilidade dada por:

(c) Calcule o desvio padrão da vida útil do aparelho industrial.

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro. A distância (em km) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidades:

Existem duas opções de diárias de aluguel:

1. Opção 1: R$80,00 + R$ 0,40 por km rodado;

2. Opção 2: R$ 90,00 se rodar até 120 km e R$ 100,00 se rodar mais de 120 km num dia.

Ache os valores dos custos das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa em média para esta pessoa.

Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade , com suporte no intervalo .

a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.

b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.