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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 29

A espessura, micrômetros, de um revestimento condutivo tem uma função densidade de 600 x - 2 para 100 μ m < x < 120 μ m .

  1. Determine a média e a variância da espessura de revestimento.
  2. Se o revestimento custar U S $ 0.50 por micrômetro de espessura em cada peça, qual será o custo médio de revestimento por peça?

Passo 1

Seja a função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X fornecida:

f ( x ) = 600 x - 2 ,   100 < x < 120

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede na letra a:

E ( X ) = ∫ 100 120 600 x - 2 x d x = 600 ∫ 100 120 x - 1 d x = 600 × l n 120 100 = 109.39

E ( X 2 ) = ∫ 100 120 600 x - 2 x 2 d x = 600 ∫ 100 120 d x = 600 × 20 = 12000

V a r ( X ) = 12000 - 109.3 9 2 ≈ 33.2

Passo 3

Letra b:

O custo médio por peça é 0.5 × 109.39 = 54.7 dólares.

Resposta

  1. Média= 109.39, Variância= 33.2
  2. 54.7 dolares
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