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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 9.6 - Ex. 13

Um casal está procurando um apartamento para alugar, duas cidades, igualmente atrativas para o casal, estão sob consideração. A decisão sobre qual a cidade escolhida depende do custo do aluguel. Neste sentido, eles obtiveram o preço médio e a variabilidade dos preços em cada uma das cidades. Na primeira cidade, denominada cidade A, o preço médio e correspondente desvio padrão foram obtidos de uma pesquisa com 22 ofertas, fornecendo respectivamente, R$ 455,00 e R$ 25,00 .Na segunda cidade, B, foram escolhidas 30 ofertas que forneceram média de R$ 475,00 e desvio padrão de R$ 18,00. Supondo normalidade e mesma variância, pergunta-se:

  1. As cidades são equivalentes, ao nível 5%? Se não, qual é melhor?
  2. Apresente um intervalo de confiança com γ = 0,95 para â diferença ele preços entre as cidades A e B.

Passo 1

Antes de tudo vamos organizar os dados dados no enunciado:

Cidade A

N° da amostra: n = 22

Média: x A _ = 455

Desvio padrão: v A = 25

Cidade B

N° da amostra: m = 22

Média: x B _ = 475

Desvio padrão: v B = 18

Antes de resolver o item (a), temos que perceber que nada foi dito sobre as variâncias populacionais. Para saber qual teste aplicar precisamos saber se as variâncias populacionais são iguais ou diferentes, então vamos realizar um teste de hipótese para comparar as variâncias populacionais.

Passo 2

Vamos agora escrever as hipóteses do teste de comparação entre as variâncias populacionais:

H 0 : σ 1 2 = σ 2 2

H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2

Vamos calcular a estatística do teste utilizando as variâncias amostrais (lembrando que a variância é o desvio padrão elevado ao quadrado) :

f o b s = v 1 2 v 2 2 = 625 324 = 1,92

Queremos rejeitar ou não H 0 , isto é, se f o b s pertencer a região crítica (RC) do teste, rejeitamos H 0 caso contrário H 0 é verdadeira.

No nosso exercício significa que : se f o b s pertencer a RC então as variâncias populacionais não são iguais (rejeitasse H 0 ), se se f o b s não pertencer a RC então as variâncias populacionais são iguais (não se rejeita H 0 ).

Vamos escrever a região crítica do teste:

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) ∪ f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

Agora só precisamos calcular f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) e f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , para isso vamos utilizar os valores da tabela F-snedecor com α = 5 %

f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0,975,24,17 ) = 0,48

f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0,025,24,17 ) = 2,07

Agora vamos reescrever a região crítica e analisar f o b s :

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) ∪ f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

R C = 0 ; 0,48 ∪ 2,07 ; + ∞

Temos que f o b s =   1,92 logo f o b s não pertence a RC então H 0 é verdadeira.

Então podemos concluir que as variâncias populacionais entre as duas técnicas são iguais.

Passo 3

Agora que já sabemos que as variâncias populacionais são iguais, vamos resolver o item (a).

No item (a) perguntasse se as cidades são equivalentes, ao nível 5%. Vamos realizar um teste de hipótese bilateral para comparar duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais (como descobrimos no item (a).

Inicialmente, vamos escrever as hipóteses do nosso teste, seja μ A 2 a média da cidade A e μ B 2 da cidade B :

H 0 : μ A 2 = μ B 2

H 1 : μ A 2 ≠ μ B 2

Como se trata de um teste para comparar duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais a estatística do teste será:

T o b s = ( x A _ - x B _ ) s p 1 n + 1 m

Vamos calcular o valor de s p separadamente:

s p = ( n - 1 ) v 1 2 + ( m - 1 ) v 2 2 n + m - 2 = ( 25 - 1 ) * 625 + ( 18 - 1 ) * 324 25 + 18 - 2 = 22,3

Agora vamos calcular T o b s :

T o b s = ( x 1 _ - x 2 _ ) s p 1 n + 1 m = ( 455 - 475 ) 22,3 1 25 + 1 18 = - 2,9

Sabemos que no teste bilateral à direita de comparação entre duas médias com variâncias populacionais desconhecidas porém iguais temos que: Se T o b s <   - T α 2 ou T o b s > T α 2 com grau de liberdade b = n + m - 2 , então rejeita-se H 0 .

usando a tabela T-student podemos obter o valor de T α 2 com grau de liberdade b = 25 + 18 - 2 = 41 :

T α 2 = 2,0 e - T α 2 =   - 2,0

Logo T o b s <   - T α 2 ou seja, rejeitamos H 0 .

Como rejeitar H 0 , concluímos que as cidades não são equivalentes.

Passo 4

O item (b) pede um intervalo de confiança com γ = 0,95 para â diferença ele preços entre as cidades A e B. Já que realizamos o teste bilateral no item (a), considerando b = 41 o número de graus de liberdade, o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas porém iguais é:

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( x A _ - x B _ ) - T α 2 . s p 1 n + 1 m ;   ( x A _ - x B _ ) + T α 2 . s p 1 n + 1 m

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( 455 - 475 ) - 2 * 22,3 * 1 25 + 1 18 ;   ( 455 - 475 ) + 2 * 22,3 1 25 + 1 18

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = - 33,38 ;   - 6,62

Resposta

  1. Não, as cidades não são equivalentes.
  2. I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = - 33,38 ;   - 6,62
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