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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 80

Em certa competição, os jogadores têm a mesma habilidade, e a probabilidade de que um entre dois participantes seja vitorioso é de 1 2 . Em um grupo de 2 n jogadores, os jogadores formam pares uns com os outros de forma aleatória. Os 2 n - 1 vencedores formam novos pares aleatoriamente, e assim por diante, até que reste um único vencedor. Considere dois participantes específicos, A e B, e defina os eventos A i ,   i ≤ n e E como

A i : A participa de exatamente i disputas;

E : A e B nunca jogam um contra o outro

a) Determine P A i ,   i = 1 , … ,   n

b) Determine P ( E )

c) Seja P n = P ( E ) . Mostre que

P n = 1 2 n - 1 + 2 n - 2 2 n - 1 1 2 2 P n - 1

e use essa fórmula para verificar a resposta que você obteve na letra (b).

Dica: Determine P ( E ) colocando uma condição na ocorrência de cada um dos eventos   A i ,   i = 1 , … ,   n . Ao simplificar a sua resposta, use a identidade algébrica

∑ i = 1 n - 1 i x i - 1 = 1 - n x n - 1 + ( n - 1 ) x n 1 - x 2

Para uma outra abordagem de solução para este problema, note que há um total de 2 n - 1 partidas jogadas.

(d) Explique por que 2 n - 1 partidas são jogadas. Numere essas partidas e suponha que B i represente o evento em que A e B jogam entre si a i-ésima partida, i = 1 , … ,   2 n - 1 .

(e) Determine P ( B i ) .

(f) Use a letra (e) para determinar P ( E ) .

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

(a) Vamos determinar P A i :

Para que A jogue exatamente i jogos, ele tem que ganhar o primeiro i — 1 e depois perder um.

Como os resultados dos jogos são independentes, essa probabilidade é o seguinte produto:

P A i = P v i t ó r i a i - 1 P d e r r o t a = 1 2 i - 1 . 1 2 = 1 2 i         p a r a   i = 1 , … ,   n - 1

Exceção:

Quando o jogador ganhou n — 1 jogos, ele joga n jogos, independentemente do resultado do enésimo jogo, assim:

P A n = P v i t ó r i a n - 1 = 1 2 n - 1

b) Vamos determinar P E :

O complemento do evento que eles nunca jogam entre si é que eles jogam entre si, e isso consiste em dois eventos mutuamente exclusivos - que A vence B ou B vence A. Numericamente isso seria dado por:

P E = 1 - [ P A   v e n c e   B + P B   v e n c e   A ]

Temos que P A   v e n c e   B = P B   v e n c e   A , uma vez que as chances são iguais para ambos.

Assim

P E = 1 - 2 P A   v e n c e   B = 1 - 2 P B   v e n c e   A  

Para determinar P B   v e n c e   A usaremos o teorema de Bayes, logo:

P B   v e n c e   A = ∑ k = 1 n P B   v e n c e   A | A k P ( A k )

Observemos que, A 1 ,   A 2 ,   … ,   A n - 1 são os eventos em que apenas um jogador venceu A, e pode ser qualquer um dos jogadores 2 n - 1 igualmente.

Logo, P B   v e n c e   A | A k = 1 2 . 1 2 n - 1 porque na metade dos casos A perdeu e, independentemente disso, o vencedor também pode ser qualquer um dos 2 n - 1 outros jogadores.

Assim,

P B   v e n c e   A = ∑ k = 1 n - 1 1 2 n - 1 1 2 k + 1 2 . 1 2 n - 1 1 2 n - 1

P B   v e n c e   A = 1 2 n - 1 ∑ k = 1 n 1 2 k

P B   v e n c e   A = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 1 2 k - 1

Como ∑ k = 0 n 1 2 k é uma série geométrica, temos que:

P B   v e n c e   A = 1 2 n - 1 1 - 1 2 n + 1 1 - 1 2 - 1

P B   v e n c e   A = 1 2 n - 1 2 - 1 2 n - 1

P B   v e n c e   A = 1 2 n - 1 1 - 1 2 n

P B   v e n c e   A = 1 2 n

Substituindo na fórmula de P(E), por fim, temos que:

P E = 1 -   2 1 2 n = 2 n - 1 - 1 2 n - 1 = 1 - 1 2 n - 1

Passo 2

(c) Seja F o evento em que eles não jogaram entre si no primeiro jogo, e como F   ⊆ E então:

P n = P E = P E F = P F P ( E | F ) onde,

P F = 2 n - 2 2 n - 1 porque cada um dos jogadores de 2 n - 1 provavelmente poderá ser emparelhado com A nessa rodada, e se A for emparelhado com qualquer um de 2 n - 1 jogadores, ele não será emparelhado com B.

P ( E | F ) pode ser dividido em dois eventos mutuamente exclusivos - G   e   G C - em que ambos venceram suas primeiras partidas.

Usando a fórmula de Bayes para a probabilidade condicional P * | F , temos que:

P n = P E = 2 n - 2 2 n - 1 [ P E | G C F P G C F + P E | G F P G F

P E | G C F = 1 porque eles não se encontraram na primeira partida, e pelo menos um deles está fora do jogo.

P E | G F = P n - 1 porque a segunda rodada começa com 2 n - 1 jogadores igualmente habilidosos, entre eles A e B, e esta é a probabilidade de que eles não joguem entre si.

P G | F = 1 2 2 = 1 4 é a probabilidade de ambos terem vencido, dado que jogaram dois jogos diferentes.

P G C | F = 1 - 1 4 = 3 4 , calculado como complemento da probabilidade anterior.

Assim, temos que:

P n = P E = 2 n - 2 2 n - 1 1 . 3 4   + P n - 1 . 1 4

P n = P E = 3 4 . 2 n - 2 2 n - 1   + 1 4 . 2 n - 2 2 n - 1 . P n - 1

Passo 3

Do resultado de (b), temos que:

P n = P E = 1 - 1 2 n - 1

Então podemos determinar

P n - 1 = 1 - 1 2 n - 2

Substituindo tal expressão no resultado de (c), obtemos:

P n = P E = 3 4 . 2 n - 2 2 n - 1   + 1 4 . 2 n - 2 2 n - 1 . 1 - 1 2 n - 2

Simplificando, temos:

P n = P E = 2 . 2 n - 1 - 1 2 n - 1 . 1 - 1 2 n = 2 . 2 n - 1 - 1 2 n

P n = P E = 1 - 1 2 n - 1

Exatamente como determinado em (b).

Passo 4

d) Cada jogo elimina apenas um jogador. Uma vez que apenas um jogador é o vencedor, os restantes 2 n - 1 têm de ser eliminado nos jogos.

e) Cada jogo tem a mesma probabilidade de ser jogado por quaisquer duas pessoas.

Existem 2 n 2 pares igualmente prováveis, cada par jogando o í-ésimo jogo são eventos mutuamente exclusivos. Apenas o par A, B está no evento B i Portanto:

P B i = 1 2 n 2 = 2.1 2 n . ( 2 n - 1 ) = 1 2 n - 1 . ( 2 n - 1 )

f) Se o par de jogadores joga junto no jogo i, um deles é eliminado, e não podem jogar juntos novamente, então

B i ∩ B j = ∅       p a r a     i   ≠ j ,           i , j = 1,2 , … , 2 n - 1

Agora veja que B 1 , B 2 ,   … , B 2 n - 1 satisfaz ao terceiro axioma da probabilidade, logo:

P ⋃ k = 1 2 n - 1 B k = ∑ k = 1 2 n - 1 P B k

O lado esquerdo da igualdade é a probabilidade de que eles joguem entre si em qualquer jogo, e os valores do lado direito são conhecidos, logo:

P j o g a r e m   e n t r e   s i = ∑ k = 1 2 n - 1 1 2 n - 1 . ( 2 n - 1 ) =   1 2 n - 1  

Esta probabilidade é justamente o complemento do evento E, portanto:

P E = 1 - P j o g a r e m   e n t r e   s i = 1 - 1 2 n - 1

Como mostrado em (b).

Resposta

a) P A n = 1 2 n - 1

b) P E = 1 - 1 2 n - 1

c) Veja a demonstração.

d) Veja a demonstração.

e) P B i = 1 2 n - 1 . ( 2 n - 1 )

f) Veja a demonstração.

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