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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 83

O dado A tem 4 faces vermelhas e 2 brancas, enquanto o dado B tem duas faces vermelhas e 4 brancas. Uma moeda honesta é lançada uma vez. Se ela der cara, o jogo continua com o dado A; se ela der coroa, então o dado B deve ser usado.

(a) Mostre que a probabilidade de cair uma face vermelha em cada jogada é de 1/2.

(b) Se as primeiras duas jogadas resultarem em vermelho, qual é a probabilidade de que dê vermelho na terceira jogada?

(c) Se o vermelho aparecer nas duas primeiras jogadas, qual é a probabilidade de que o dado A esteja sendo utilizado?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

De início consideremos os seguintes eventos:

H é o evento em que a moeda cai cara e selecionamos o dado A.

H C é então o evento em que a moeda sai cara e selecionamos o dado B.

R é o evento uma face vermelha é aparecendo no enésimo lançamento do dado.

(a) Podemos calcular P ( R n ) condicionando o resultado do lançamento da moeda. Nós temos

P R n = P H P R n H + P H C P R n H C

P R n = 1 2 . 4 6 + 1 2 . 2 6 = 1 2

Como queríamos demonstrar

Passo 2

(b) Queremos calcular P ( R 3 | R 1 R 2 ) . Faremos isso usando a definição de probabilidade condicional:

P ( R 3 | R 1 R 2 ) = P R 1 R 2 R 3 P R 1 R 2  

Calcularemos P R 1 R 2 e P R 1 R 2 R 3 condicionando o resultado do primeiro lançamento da moeda. Assim, temos que:

P R 1 R 2 = P R 1 R 2 | H P H + P R 1 R 2 | H C P ( H C )

P R 1 R 2 = P R 1 | H P R 2 | H P H + P R 1 | H C P R 2 | H C P ( H C )

P R 1 R 2 = 4 6 . 4 6 . 1 2 + 2 6 . 2 6 . 1 2 = 16 72 + 4 72 = 20 72 = 5 18

E

P R 1 R 2 R 3 = P R 1 R 2 R 3 | H P H + P R 1 R 2 R 3 | H C P ( H C )

P R 1 R 2 = P R 1 | H P R 2 | H P R 3 | H P H + P R 1 | H C P R 2 | H C P R 3 | H C P ( H C )

P R 1 R 2 R 3 = 4 6 . 4 6 . 4 6 . 1 2 + 2 6 . 2 6 . 2 6 . 1 2 = 64 43 2 + 8 43 2 = 7 2 43 2 = 1 6

Assim, temos que:

P R 3 R 1 R 2 = P R 1 R 2 R 3 P R 1 R 2 = 1 6 5 18 = 3 5

Passo 3

(c) De modo semelhante ao feito em (b), desejamos determinar

P H R 1 R 2 = P H R 1 R 2 P R 1 R 2

O valor de P R 1 R 2 já é conhecido. Já P H R 1 R 2 será dada por:

P H R 1 R 2 =   P H P R 1 | H P R 2 | H = 1 2 . 4 6 . 4 6 = 16 72 = 2 9

Assim,

P H R 1 R 2 = P H R 1 R 2 P R 1 R 2 = 2 9 5 18 = 4 5

Resposta

(a) Veja a demonstração

(b)

P R 3 R 1 R 2 = 3 5

(b)

P H R 1 R 2 = 4 5

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