Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 72

A câmara de vereadores de uma cidade possui 7 vereadores, 3 dos quais formam um comitê diretivo. Novas propostas legislativas vão primeiramente para o comitê diretivo e depois para o restante da câmara se pelo menos 2 de 3 membros do comitê as aprovarem. Uma vez na câmara, a lei requer voto majoritário para ser aprovada. Considere uma nova lei e suponha que cada membro da câmara irá aprová-la, independentemente, com probabilidade p. Qual é a probabilidade de que o voto de certo membro do comitê diretivo seja decisivo no sentido de que se o voto daquela pessoa for invertido então o destino final da nova lei será invertido? Qual seria a probabilidade correspondente para um vereador que não pertença ao comitê diretivo?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Temos que:

7 membros na câmara

3 deles são o comitê diretivo

O voto majoritário passa primeiro pelo comitê diretivo e depois pela câmara

Um membro é escolhido

Vamos considerar os seguintes eventos

E que indica se um membro da câmara mudou o seu voto e ele mude o resultado da votação.

A que indica que um membro do comitê votou “SIM”, ou seja, P(A) = p.

S i que indica que a proposta passou pelo comitê, com i = 0, 1, 2, 3 votos.

Vamos começar determinando a probabilidade do membro que mudou o voto estar no comitê.

Usando o teorema de Bayes, temos que:

P E = P E A P A + P E A C P A C

Onde temos que P E A = P E A C pois a mesma distribuição dos votos faz o voto específico desse membro ser não permutável, Logo

P E = P E A

Vamos determinar P E A . Se A aconteceu, E indica que o projeto foi aprovado, mas se o membro escolhido mudou sua opinião isso não aconteceu. A condição dele ser aprovado depende se S 2 ou S 3 aconteceu. Assim, usando a probabilidade condicional, temos:

P E A =   P E S 2 A P S 2 A + P E S 3 A P S 3 A

P E A = 1 - 1 - p 4 - 4 p 1 - p 3 P S 2 A + 4 p 1 - p 3 P S 3 A

P E A = 1 - 1 - p 4 - 4 p 1 - p 3 2 p ( 1 - p ) + 4 p 1 - p 3 p ²

P E A = 2 p 3 ( 1 - p ) ( 5 p 2 - 12 p + 8 )

Passo 2

De modo análogo, vamos determinar a probabilidade do membro que mudou o voto não estar no comitê.

Usando o teorema de Bayes, condicionado o projeto aos eventos S 0 ,   S 1 ,   S 2   e   S 3 . Assim, temos:

P E =   P E S 0 P S 0 + P E S 1 P S 1 + P E S 2 P S 2 + P E S 3 P ( S 3 )

Os membros da câmara que não estão no comitê só podem influenciar na decisão se o projeto passar pelo comitê, logo:

P E S 0 = P E S 1 = 0

Vamos determinar P E S 2 , que é a probabilidade que precisamente um dos três membros do comitê vote “SIM” e os outros dois contem contra. Assim,

P E S 2 = 3 p 1 - p 2

Determinando agora P E S 3 , que é a probabilidade de que nenhum dos três membros do. Assim,

P E S 3 = 1 - p 3

Portanto:

P E =   0 + 0 + 3 p 1 - p 2 . 3 p 2 1 - p + 1 - p 3 . p 3

P E =   10 p 3 1 - p 3

Resposta

Probabilidade do membro escolhido estar no comitê: 2 p 3 ( 1 - p ) ( 5 p 2 - 12 p + 8 )

Probabilidade do membro escolhido não estar no comitê: 10 p 3 1 - p 3

Exercícios de Livros Relacionados

Como podem 20 bolas, sendo 10 brancas e 10 pretas, serem colocadas em duas urnas de forma a maximizar a probabilidade de que uma bola branca seja sorteada se uma das urnas for selecionada aleatoriamen
Uma urna tem r bolas vermelhas e w bolas brancas que são sorteadas uma de cada vez. Seja ri, o evento em que a i-ésima bola retirada é vermelha. Determine (a) P(Ri) (b) P(R5IR3) (C) P(R3IR5)
(a) No Problema 3.66(b), determine a probabilidade de que uma corrente flua de A para B, condicionando no fechamento do relé 1. (b) Determine a probabilidade condicional de que o relé 3 esteja fechado
Joga-se uma moeda que tem probabilidade de 0,8 de dar cara. A observa o resultado - cara ou coroa - e se apressa a contá-lo para B. Entretanto, com probabilidade 0,4,A já terá esquecido o resultado qu
Maria levará dois livros consigo em uma viagem. Suponha que a probabilidade de ela gostar do livro 1 seja de 0,6, a probabilidade de ela gostar do livro 2 seja de 0,5, e a probabilidade de ela gostar