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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 84

Uma urna contém 12 bolas, das quais 4 são brancas. Três jogadores - A, B e C - tiram bolas da urna sucessivamente: primeiro A, depois B, depois C, depois A de novo e assim por diante. O vencedor é o primeiro a tirar uma bola branca. Determine a probabilidade de vitória de cada jogador se:

(a) cada bola for recolocada na urna após ser retirada.

(b) as bolas retiradas não forem recolocadas na urna.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos registrar aqui algumas definições que serão usadas em ambas as partes deste problema.

Seja i o índice da tentativa em que uma bola é retirada. Dependendo do que acontecer durante o jogo A estará retirando nas tentativas i = 1, 4, 7, 10, ..., B estará retirando nas tentativas i = 2, 5, 8, 11, ... e C estará retirando das tentativas i = 3, 6, 9, 12,...

Seja W i o evento em que uma bola branca é selecionada no i-ésimo sorteio (por quem está sacando no momento). E ainda seja A o evento A tira a primeira bola branca e, portanto, vence. A mesma lógica para os eventos B e C.

(a) Neste caso as bolas são recolocadas e os jogadores continuam tirando bolas até que haja um vencedor. Podemos calcular a probabilidade de A vencer condicionando ao resultado do primeiro conjunto de retiradas. Nós temos que:

P A = P W 1 1 - P W 1 c W 2 c W 3 c = 4 12 1 - 8 12 . 8 12 . 8 12 = 1 3 1 - 2 3 3 = 9 19  

De modo semelhante, teremos agora que P(B) depende de A não tirar a bola branca, assim:

P B = P W 1 c P ( W 2 ) 1 - P W 1 c W 2 c W 3 c = 8 12 . 4 12 1 - 8 12 . 8 12 . 8 12 = 2 9 1 - 2 3 3 = 6 19

Por fim, P(C) depende de A e B não retirarem a bola branca, logo:

P B = P W 1 c P W 2 c P ( W 3 ) 1 - P W 1 c W 2 c W 3 c = 8 12 . 8 12 . 4 12 1 - 8 12 . 8 12 . 8 12 = 4 27 1 - 2 3 3 = 4 19

Para confirmar a veracidade dos resultados basta notar que:

P A + P B + P C = 9 19 + 6 19 + 4 19 = 1

Passo 2

(b) Agora desejamos determinar as mesmas probabilidades, porém sem reposição, ou seja, a cada retirada a quantidade de bolas vai diminuindo e as chances de tirar uma bola branca ou não muda.

Note que considerando a quantidade de bolas e a ordem das retiradas entre os jogadores, A só pode ganhar nas três primeiras rodadas, logo:

Probabilidade de A ganhar na primeira rodada:

P A 1 = 4 12

Probabilidade de A ganhar na segunda rodada:

P A 1 c B 1 c C 1 c A 2 = 8 12 . 7 11 . 6 10 . 4 9 = 56 495

Probabilidade de A ganhar na terceira rodada:

P A 1 c B 1 c C 1 c A 2 c B 2 c C 2 c A 3 = 8 12 . 7 11 . 6 10 . 5 9 . 4 8 . 3 7 . 4 6 = 2 99

Logo,

P A = 4 12 + 56 495 + 2 99 = 7 15

Usando a mesma noção para determinar P(B), temos:

Probabilidade de B ganhar na primeira rodada:

P A 1 c B 1 = 8 12 . 4 11 = 8 33

Probabilidade de B ganhar na segunda rodada:

P A 1 c B 1 c C 1 c A 2 c B 2 = 8 12 . 7 11 . 6 10 . 5 9 . 4 8 = 7 99

Probabilidade de B ganhar na terceira rodada:

P A 1 c B 1 c C 1 c A 2 c B 2 c C 2 c A 3 c B 3 c C 3 = 8 12 . 7 11 . 6 10 . 5 9 . 4 8 . 3 7 . 2 6 . 4 5 = 4 405

Logo,

P B = 8 33 + 7 9 9 + 4 405 = 53 1 6 5

Por fim, para não se prolongar demais, vamos usar o fato que as probabilidades de A, B e C são complementares para dizer que:

P C = 1 - P A - P B = 1 - 7 15 - 53 165 = 7 33

Resposta

(a)

P A = 9 19 ,   P B = 6 19   e   P C = 4 19

(b)

P A = 7 1 5 ,   P B = 53 1 65   e   P C = 7 33

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