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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 52

O College Board relata que 2% dos 2 milhões de alunos que fazem o SAT cada ano recebem acomodações especiais por causa de deficiência física documentada (Los Angeles Times, July 16, 2002). Considere uma amostra aleatória de 25 estudantes que fizeram o teste recentemente.

a. Qual é a probabilidade de exatamente 1 ter recebido acomodação especial?

b. Qual é a probabilidade de ao menos 1 ter recebido acomodação especial?

c. Qual é a probabilidade de ao menos 2 terem recebido acomodação especial?

d. Qual é a probabilidade de o número entre os 25 que receberam acomodação especial estar dentro de 2 desvios padrão do número que você espera serem acomodados? e. Suponha que um estudante que não receba acomodação especial tenha 3 horas para fazer o exame e um que receba tenha 4,5. Qual você espera que seja o tempo médio dos 25 estudantes selecionados?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja

X =   n ú m e r o   d e   a l u n o s   q u e   r e c e b e m   a c o m o d a ç õ e s   e s p e c i a i s .

X tem Distribuição Binomial com parâmetros n=25 e p=0.02 (0.02 é 2%),

X   ~ B i n 25 ,   0.02

  1. Teorema

    2. b x ; n ,   p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0,1 , 2 , … ,   n 0

    O seguinte é verdade

    P X = 1 = b 1 ; 25 ,   0.02 =   25 1 0.02 1 1 - 0.02 25 - 1

    = 0.30789

    Passo 2

  2. Complemento do evento que pelo menos 1 recebe é que nenhum deles recebe, portanto calculamos a probabilidade da seguinte forma

    3. P   X     ≥ 1   = 1 - P X = 0   = 1 - b 0 ; 25 ,   0.02 =   25 0 0.02 0 1 - 0.02 25 - 0

    = 1 - 0.60346

    = 0.39654

  3. O seguinte é verdadeiro

    4. P X   ≥ 2 = 1 - P X < 2 = 1 - P X = 0 + P X = 1

    = 1 - b 0 ; 25 ,   0.02 - b 1 ; 25 ,   0.02

    = 1 - 0.39654 - 0.30789

    = 0.29557 ;

    Passo 3

  4. Precisamos determinar o valor esperado e o desvio padrão.

    5. Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1−p, o seguinte é verdadeiro

    E X = n p ;

    V X = n p 1 - p = n p q ;

    σ x = n p q

    O seguinte é verdade

    E X = 25 ∙ 0.02 = 0.5

    Também, a variância

    V X = n p 1 - p = 25 ∙ 0.02 ∙ 0.98 = 0.49

    de onde obtemos o desvio padrão

    σ x =   n p q = 0.7

    Precisamos encontrar a probabilidade do evento

    E X - 2 σ x   ≤ X   ≤ E X + 2 σ x

    0.5 - 2 ∙ 0.7   ≤ X   ≤ 0.5 + 2 ∙ 0.7

    Portanto, a probabilidade é

    P   - 0.9   ≤ X   ≤ 1.9 = P 0   ≤ X   ≤ 1 = b 0 ; 25 ,   0.02 - b 1 ; 25 ,   0.02

    = 0.39654 + 0.30789

    = 0.70443 ;

  5. Os alunos acomodados têm 4,5 horas, e o valor esperado para o número de alunos acomodados é

E X =   0,5

o tempo esperado permitido seria

4.5 ∙ 0.5 = 2.25

horas. Da mesma forma, o número esperado de alunos sem acomodação especial é

25 - 0.5 = 24.5

com tempo permitido de 3 horas, o que torna

24.5 ∙ 3 = 73.5

Horas.

A média das horas é

2.25 + 73.5 25 = 3.03   h o r a s  

Resposta

  1. P   X = 1 = 0.30789
  2. P     X   ≥ 1   = 0.39654
  3. P X   ≥ 2 = 0.29557
  4. P - 0.9   ≤ X   ≤ 1.9 = 0.70443
  5. 3.03

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