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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 47

Uma empresa de cristais finos sabe por experiência que 10% de suas taças possuem defeitos cosméticos e devem ser classificadas como “de segunda linha”.

a. Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de uma ser de segunda linha?

b. Entre seis taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de no mínimo duas serem de segunda linha?

c. Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade de no máximo cinco terem de ser selecionadas para encontrar quatro que não sejam de segunda linha?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Denote a variável aleatória X como

X = n ú m e r o   d e   c l a s s i f i c a d o s   c o m o   " s e g u n d o s " .

São seis taças, então n=6, e 10% têm as falhas e são classificadas como "segundos", o que faz p=0.1. Portanto, X∼Bin(6,0.1).

Passo 2

  1. Teorema:

    2. b x ; n ,   p =   n x p x 1 - p n - x ,   x = 0,1 , 2 , … , n 0

    O seguinte é verdadeiro

    b 1 ; 6 ,   0.1 = P X = 1 =   6 1 0.1 1 1 - 0.1 6 - 1 = 0.3543

  2. Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    3. B x ; n ,   p = P X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b ; n ,   p ,   x = 0 ,   1 ,   … ,   n

    A probabilidade é a seguinte

    P X   ≥ 2 = 1 - P X < 2 = 1 - P   X   ≤ 1

    = 1 - B 1 ; 6 ,   0.1 = 1 - b 1 ; 6 ,   0.1 - b 0 ; 6,0.1

    = 1 - 0.5313 - 0.3543 = 0.1143

    Passo 3

  3. O evento dado pode ser representado como a união de dois eventos disjuntos -− ou primeiros quatro cálices não tem nenhum defeito, ou um dos quatro primeiros tem um defeito é classificado como segundo e quinto não tem uma falha.

A probabilidade de que as primeiras quatro taças não tenham defeito é

P   X = 0   =   4 0 0.1 0 1 - 0.1 4 - 0 = 0.6561

A probabilidade do segundo evento dado é

4 1 0.1 1 1 - 0.1 4 - 1 ∙ 0.9 = 0.26244

Onde a parte

4 1 0.1 1 1 - 0.1 4 - 1

é a probabilidade de selecionar um cálice com defeito dentre quatro cálices e 0.9 é a probabilidade de o quinto cálice ser bom.

Como a probabilidade de determinado evento no exercício é a união de dois eventos disjuntos, sua probabilidade será a soma desses dois eventos, portanto, a probabilidade do evento é

0.6561 + 0.26244 = 0.91854

Resposta

  1. b(1;6,0.1)=0.3543
  2. P X   ≥ 2 = 0.1143
  3. 0.91854

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