Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 17
Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo, aleatoriamente, o ponto de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcula a probabilidade de:
- Encontrar água na segunda tentativa.
- Encontrar água em até duas tentativas.
- Encontrar água.
Passo 1
Em (a) queremos saber a probabilidade de encontrar água na segunda tentativa de furo, ou seja, a primeira tentativa já foi feita, porém não foi encontrada água. Como a probabilidade de achar água em qualquer ponto dessa região é de 0,7, e, como não foi encontrada água na primeira tentativa, ela se encaixa nos outros 30% de chance de não se encontrar água.
Assim, para encontrarmos a probabilidade de encontrar água no segundo furo, basta multiplicar a probabilidade de “erro” do primeiro furo com a probabilidade de encontrar água em qualquer ponto, assim:
onde, é a probabilidade de encontrar água na segunda tentativa, é a probabilidade de não encontrar água na primeira tentativa e a probabilidade de encontrar água, assim:
Passo 2
Em (b) para encontrarmos água em até duas tentativas, temos três situações distintas, sendo elas:
- Encontrar água nas duas tentativas;
- Encontrar água na primeira tentativa, mas não encontrar na segunda tentativa;
- Encontrar água na segunda tentativa, mas não encontrar água na primeira tentativa;
Daí, a probabilidade de encontrar água em até duas tentativas é a união das probabilidades dessas situações, pois, pense o seguinte, teremos de encontrar água nas duas perfurações OU na primeira e não na segunda OU na segunda e não na primeira, esse termo OU vai nos remeter a adição, a união, assim:
Temos em (1) que, para encontrar água nas duas tentativas, basta multiplicar a probabilidade de encontrar água na primeira tentativa e a probabilidade de encontrar água na segunda, daí:
Em (2), teremos um caso análogo a alternativa (a), onde acharemos água na primeira tentativa, mas não acharemos na segunda, assim:
Já em (3), teremos o caso da alternativa (a), assim, .
Daí, a probabilidade de achar água em até duas tentativas será:
Passo 3
Em (c) queremos saber a probabilidade de encontrar água, assim, teremos algumas situações:
- Encontrar água nas três tentativas;
- Encontrar água em duas tentativas;
- Encontrar água em uma tentativa;
Para (1), veja que nas três perfurações encontraríamos água, assim:
Em (2), teremos que em duas perfurações encontraremos água, mas em uma não encontraremos, assim:
Esse valor que encontramos para será multiplicado por 3, pois poderá haver 3 situações nesse caso: encontrar água nas duas primeiras tentativas, encontrar água nas duas últimas tentativas ou encontrar água na primeira e na terceira tentativa, assim:
Em (3), teremos que encontraremos água em apenas uma tentativa, daí:
Também teremos que multiplicar pro 3, pois pode haver as seguintes situações nesse caso: encontrar água na primeira tentativa, encontrar água na segunda tentativa ou encontrar água na terceira tentativa, assim:
Logo, a probabilidade de encontrar água será a união das probabilidades dos 3 casos, assim:
Resposta
- 0,21;
- 0,91;
- 0,973;