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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 9

Considere duas jogadas independentes de uma moeda honesta. Suponha que A seja o evento em que a primeira jogada dá cara, B o evento em que a segunda jogada dá cara e C o evento em que ambas as jogadas da moeda caem no mesmo lado. Mostre que os eventos A, B e C são independentes por pares - isto é, A e B são independentes, A e C são independentes, e B e C são independentes – mas não totalmente independentes.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se uma moeda honesta é lançada duas vezes independentemente, existem 4 eventos igualmente prováveis

H , H - O s   d o i s   s o r t e i o s   r e s u l t a m   e m   c a r a → P H , H = P H ∙ P H = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4

H , T - P r i m e i r o   s o r t e i o   c a r a ,   s e g u n d o   c o r o a ,   P H , T = 1 4

T , H - P r i m e i r o   s o r t e i o   c o r o a ,   s e g u n d o   c a r a ,   P T , H = 1 4

T , T - O s   s o r t e i o s   s ã o   c o r o a ,   P T , T = 1 4

Com a ideia que estes eventos são mutuamente exclusivos

Passo 2

Agora, vamos definir cada evento

P A = P H , H , H , T = P H , H + P H , T = 2 ∙ 1 4 = 1 2

P B =   P H , H , T , H = 1 2

P C = P H , H , T , T = 1 2

A caracterização da independência é que a probabilidade de interseção é o produto das probabilidades

P A B = P H , H = 1 4 = 1 2 ∙ 1 2 = P A P B → A   e   B   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

P B C =   P H , H = 1 4 = 1 2 ∙ 1 2 = P B P C → B   e   C   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

P A C =   P H , H = 1 4 = 1 2 ∙ 1 2 = P A P C → A   e   C   s ã o   i n d e p e n d e n t e s  

Todos os eventos são independentes em pares, mas todos os três eventos em conjunto não são independentes

P A B C = P H , H = 1 4 ≠ 1 2 ∙ 1 2 ∙ 1 2 = P A P B P ( C )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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