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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 10

Considere um grupo de n indivíduos. Suponha que a data de aniversário de cada pessoa tenha a mesma probabilidade de cair em qualquer um dos 365 dias do ano e também que os aniversários sejam eventos independentes. Suponha que A i j ,   i ≠ j , represente o evento em que as pessoas i e j têm a mesma data de aniversário. Mostre que esses eventos são independentes por pares, mas não independentes. Isto é, mostre que A i j   e A r s são independentes, mas os n 2 eventos A i j ,   i ≠ j não são independentes.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar os eventos como um primeiro passo, com isso, nós temos que

i , j ∈ 1,2 , … , n ,     q u e   s ã o   a s   p e s s o a s   m a r c a d a s   p o r   n ú m e r o s

A i , j -   e v e n t o   q u e   d u a s   p e s s o a s   d i f e r e n t e s - i   e   j   c o m p a r t i l h a m   u m   a n i v e r s á r i o ,   i ≠ j

Vamos calcular se diferentes eventos do formulário são independentes um do outro. Dizemos que n eventos em algum espaço de probabilidade são independentes se e somente se

P ⋂ i = 1 n A i = ∏ i = 1 n P A i

Onde P A i , j ,   i ≠ j . Se o aniversário de i for fixo, há uma probabilidade de 1 em 365 de que o j-ésimo aniversário seja no mesmo dia. E isso é verdade para qualquer aniversário de i, então quando somamos todas as probabilidades condicionais obtemos 1/365. Isso não seria verdade se os aniversários dependessem um do outro

P A i , j = 1 365

Passo 2

Para a probabilidade de P A i , j ∩ A r , s . Esta probabilidade será calculada pelo método de contagem. Tem 365 4 possibilidades igualmente prováveis ​​para os aniversários de i , j , k , l , nessa ordem. Em 365 ∙ 365   de aqueles quatros i e j compartilham um aniversário - 365 possibilidades e 365 possibilidades para o aniversário de   k e l .

P A i , j ∩ A r , s = 365 ∙ 365 365 4 = 1 365 2 = P A i , j P ( A k , l )

A pessoa 1 faz aniversário em algum dia. Probabilidade de que a segunda pessoa tenha o aniversário no mesmo dia é 1/365. O mesmo para todas as outras pessoas, n - 1 deles. Semelhante a P ( A i , j )

P Todos  n 2  eventos ocorrerem = 1 365 n - 1 ≠ P A i , j n 2  

Notando a primeira e a última expressão vemos que a condição de independência não se verifica, portanto estes n 2 eventos não são independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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