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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 13

A probabilidade de se obter cara em uma única jogada de moeda é igual a p. Suponha que A comece e continue a jogar a moeda até que dê coroa, instante a partir do qual passa a vez para B. Depois, B continua a jogar a moeda até que dê coroa, instante a partir do qual passa a vez para A e assim por diante. Seja P n , m a probabilidade de que A acumule um total de n caras antes que B acumule m caras. Mostre que

P n , m = p P n - 1 , m + ( 1 - p ) ( 1 - P m , n )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar os eventos

A n , m - e v e n t o   q u e   A   v i r a   n   c a r a s   a n t e s   d e   B   v i r a r   m .

H -   a   p r i m e i r a   v i r a d a   f o i   c a r a .

Pela fórmula da probabilidade total, nós temos

P n , m = P A n , m = P A n , m H P H + P A n , m H c P ( H c )

Vamos encontrar cada probabilidade deste caso

Passo 2

No caso de P ( A n , m | H ) nós temos que, dado que H ocorreu, continua com seus arremessos, com probabilidades inalteradas - equivalente a um novo jogo onde A vai primeiro, e como uma cara já está virada por A , precisa virar n - 1 mais antes de B virar m deles.

P A n , m H = P A n - 1 , m = P n - 1 , m

Já para P ( A n , m | H c ) . Dado que H c ocorreu, a situação equivale a um novo jogo onde B vai

primeiro, ambos a partir de 0 caras. A probabilidade de B - o primeiro jogador atingir

cara antes que o outro jogador atinja cara é P n , m , e esse é o complemento do evento desejado.

P A n , m H c = 1 - P m , n

Passo 3

Substituindo as duas últimas igualdades e P H = p e P H c = 1 - p

P n , m = p P n - 1 , m + ( 1 - p ) ( 1 - P m , n )

A fórmula recursiva está provada!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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