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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 34

Considere a funcao densidade de probabilidade

  1. Encontre o valor da constante c.
  2. Qual eo estimador de momento para 0?
  3. Mostre que 0-3X e um estimador nao-tendencioso de 0.
  4. Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para 8.

Passo 1

Dada função de densidade de probabilidade:

f ( x ) = c ( 1 + θ x ) , - 1 ≤ x ≤ 1

Letra a:

Vamos encontrar o valor da constante c.

Uma função de densidade de probabilidade válida satisfaz

f ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∫ x   f ( x ) d x = 1 '

Então,

∫ - 1 1   f ( x ) d x = 1 ∫ - 1 1   c ( 1 + θ x ) d x = 1 c ∫ - 1 1   1 d x + θ ∫ - 1 1   x d x = 1

c x - 1 1 + θ ⋅ x 2 2 - 1 1 = 1 c 1 - - 1 + θ ( 1 ) 2 2 - ( - 1 ) 2 2 = 1 c [ 2 + θ ⋅ 0 ] = 1 c = 1 2

Passo 2

Letra b:

Vamos encontrar o estimador de momento para θ .

μ 1 ' = ∫ x   x f ( x ) d x = ∫ - 1 1   x ⋅ 1 2 ( 1 + θ x ) d x = 1 2 ∫ - 1 1   x d x + θ ∫ - 1 1   x 2 d x = 1 2 x 2 2 - 1 1 + θ x 3 3 - 1 1 = 1 2 0 + θ × 2 3 = θ 3

O estimador de amostra da média é x _ . Então μ 1 ' = σ 3

θ = 3 μ 1 ' θ ^ = 3 x -

Passo 3

Letra c:

Vamos provar que θ ^ = 3 X _ é um estimador imparcial para θ .

E ( 3 x - ) = 3 E ( x - ) = 3 ⋅ μ 1 '

Visto que a média da amostra x _ é um estimador imparcial para a média da população μ 1 ' .

= 3 ⋅ θ 3 = θ

Passo 4

Letra d:

Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança para θ .

L ( θ ) = ∏ i = 1 n   f x i , θ = ∏ i = 1 n   1 2 1 + θ x i = 1 2 1 + θ x 1 ⋅ 1 2 1 + θ x 2 ⋅ … ⋅ 1 2 1 + θ x n = 1 2 n ∏ i = 1 n   1 + θ x i

Fazendo o log, temos:

l o g ⁡ L x i , θ = - n l o g ⁡ 2 + ∑ i = 1 n   l o g ⁡ 1 + θ x i ∂ log ⁡ L x i , θ ∂ θ = ∑ i = 1 n   x i 1 1 + θ x i = 0 ∑ i = 1 n   x i = 0

Então aqui, obtenha o estimador de máxima verossimilhança escolhendo θ de modo que L, conforme dado acima, atinja seu máximo.

Como o valor máximo de θ é consistente com a amostra é X n , a maior observação da amostra:

θ ^ = X n

Resposta

  1. c = 1 2
  2. θ ^ = 3 x -
  3. θ ^ = 3 X - é um estimador imparcial para θ
  4. θ ^ = X n
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