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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 77

Considere o intervalo de confiança para μ , com desvio padrão conhecido σ :

x _ - z α 1 s / n <   μ < x _ + z α 2 s / n

sendo α 1 + α 2 = α . Seja α = 0.05 e encontre o intervalo para α 1 = α 2 = α / 2 = 0.025 . Agora, encontre o intervalo para o caso de α 1 = 0.01 e α 2 = 0.04 . Qual é o menor intervalo? Há alguma vantagem em ter um intervalo de confiança “simétrico”?

Passo 1

O intervalo de confiança para μ com desvio padrão conhecido σ é:

x _ - z α 1 s / n <   μ < x _ + z α 2 s / n

onde, α = α 1 + α 2

Passo 2

Caso 1:

Seja α = 0.05 , precisamos encontrar o intervalo para

α 1 = α 2 = 0.025

Então, da tabela III:

z 0.025 = 1.96

Agora, da equação anterior, obtemos

x _ - 1.96   s / n <   μ < x _ + 1.96   s / n

então, a duração do intervalo é:

2 × 1.96 s n = 3.92 s n

Passo 3

Caso 2:

Seja α 1 = 0.01 e α 2 = 0.04 . Então,

z α 1 = z 0.01 = 2.33

z α 2 = z 0.04 = 1.75

Portanto, o intervalo de confiança para μ   é:

x _ - 2.33   s / n <   μ < x _ + 1.75   s / n

e a duração do intervalo é

( 2.33 + 1.75 ) s n = 4.08 s n

Agora, das equações anteriores concluímos que o comprimento do intervalo simétrico no caso I é menor do que o comprimento do intervalo assimétrico no caso II. No caso geral, os intervalos mais curtos são preferidos porque são mais precisos.

Resposta

Ver resolução.

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