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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 6

Considere as observações que seguem sobre o fluxo direto (1000 acre-pés) registrado em um posto em Colorado de 12 de abril a 31 de agosto, por um período de 31 anos (Dados extraídos de um artigo do volume de 1974 de Water Resources Research).

127,96 210,07 203,24 108,91 178,21 285,37 100,85 89,59 185,36 126,94 200,19 66,24 247,11 299,87 109,64 125,86 114,79 109,11 330,33 85,54 117,64 302,74 280,55 145,11 95,36 204,91 311,13 150,58 262,09 477,08 94,33

Um gráfico de probabilidade apropriado confirma o uso da distribuição lognormal (veja Seção 4.5) como um modelo razoável do fluxo dos rios.

a. Calcule os parâmetros da distribuição. [Sugestāo: lembre-se que X possui distribuição lognormal com parâmetros μ e σ 2 se l n ⁡ ( X ) for normalmente distribuído com média μ e variância σ 2 .]

b. Use as estimativas da parte (a) para calcular uma estimativa do valor esperado de fluxo dos rios. [Sugestāo: qual é o E ( X ) ? ]

Passo 1

a. Seja   y i = l n ⁡ x i for I = 1 , . . , 31 .. Verifica-se facilmente que a média amostral e o sd amostral dos y i   ' s são y ‾ = 5.102 e s y = . 4961 . Usando a média amostral e sd amostral para estimar μ e σ, respectivamente, dá μ ˆ = 5.102 e σ ˆ = . 4961 (portanto σ ˆ 2 = s y 2 = . 2461

Passo 2

b.   E ( X ) ≡ e x p ⁡ μ + σ 2 2 .  É natural estimar E(X) usando μ ˆ e σ ˆ 2 no lugar de μ e σ 2 nesta expressão

E ( X ^ ) = e x p ⁡ 5.102 + . 2461 2 = e x p ⁡ ( 5.225 ) = 185.8 7

Resposta

a .   σ ˆ 2 = s y 2 = . 2461

b. 185.8 7

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