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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 66

Considere uma série temporal – isto é, uma sequência de observações X1, X2, . . . obtidas no decorrer do tempo – com valores observados x1, x2, ..., xn. Suponha que essa série não mostre nenhuma tendência ascendente ou descendente no decorrer do tempo. Um pesquisador frequentemente deseja saber exatamente até que ponto os valores na série separados por um número específico de unidades de tempo estão fortemente relacionados. O primeiro coeficiente de autocorrelação amostral de atraso r1 é exatamente o valor do coeficiente de correlação amostral r dos pares (x1, x2), (x2, x3), ..., (xn1, xn), ou seja, pares de valores separados por uma unidade de tempo. De modo semelhante, o segundo coeficiente de autocorrelação amostral do atraso r2 é r para n – 2 pares (x1, x3), (x2, x4), ..., (xn2, xn). a. Calcule os valores de r1, r2 e r3 para os dados de temperatura do Exercício 82 do Capítulo 1 e comente. b. De maneira semelhante ao coeficiente de correlação populacional , 1, 2, ... denotam os coeficientes de autocorrelação teóricos ou de longo prazo nos vários atrasos. Se todos esses s forem 0, não haverá relação (linear) em qualquer atraso. Nesse caso, se n for grande, cada Ri terá aproximadamente uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1/n e diferentes Ri s serão quase independentes. Portanto, H0: i 0 pode ser rejeitada no nível de significância de aproximadamente 0,05 se ri 2/n ou ri 2/n. Se n 100 e r1 0,16, r2 0,09 e r3 0,15, há alguma evidência de autocorrelação teórica nos primeiros três atrasos? c. Se você estivesse testando simultaneamente as hipóteses nulas do item (b) para mais de um atraso, por que aumentar a constante de corte 2 na região de rejeição?

Passo 1

  1. Primeiro iremos calcular o coeficiente de correlação dos seguintes dados:

    2. x ¯ = 49.38

    y ¯ = 49.62

    ∑ i = 1 13 x i = 642

    ∑ i = 1 13 y i = 645

    ∑ i = 1 13 ( x i - x ¯ ) ² = 85.08

    ∑ i = 1 13 ( y I - y ¯ ) ² = 91.08

    ∑ i = 1 13 x i y i = 31870

    Passo 2

    Agora temos o seguinte:

    S x y = ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n

    = 31870 - 642.645 13

    = 16.92

    r 1 = S x y ∑ i = 1 n x i - x ¯ 2 ∑ i = 1 n y i - y ¯ 2

    = 16.92 85.08 91.08

    = 0.19

    Agora iremos calcular o coeficiente de correlação r 2 para os dados abaixo

    x ¯ = 49.33

    y ¯ = 49.25

    ∑ i = 1 12 x i = 592

    ∑ i = 1 12 y i = 591

    ∑ i = 1 12 ( x i - x ¯ ) ² = 90.67

    ∑ i = 1 12 ( y I - y ¯ ) ² = 64.25

    ∑ i = 1 12 x i y i = 29134

    S x y = ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n

    = 29134 - 592 ∙ 591 12

    = - 22

    r 1 = S x y ∑ i = 1 n x i - x ¯ 2 ∑ i = 1 n y i - y ¯ 2

    = - 22 90.67 64.25

    = - 0.29

    Agora iremos calcular o coeficiente de correlação r 3 para os dados abaixo

    x ¯ = 49.09

    y ¯ = 48.91

    ∑ i = 1 11 x i = 540

    ∑ i = 1 11 y i = 538

    ∑ i = 1 11 ( x i - x ¯ ) ² = 82.91

    ∑ i = 1 11 ( y I - y ¯ ) ² = 48.91

    ∑ i = 1 11 x i y i = 26370

    S x y = ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n

    = 26370 - 540 ∙ 538 11

    = - 40.91

    r 3 = S x y ∑ i = 1 n x i - x ¯ 2 ∑ i = 1 n y i - y ¯ 2

    = - 40.91 82.91 48.91

    = - 0.64

    Passo 3

  2. Agora precisamos testar as hipóteses de que H 0   :   ρ i = 0 com nível 0.05 e valor crítico podemos calcular da seguinte forma

P o n t o   C r i t i c o = 2 n

= 2 100

= 0.2

Rejeitamos hipóteses nulas se r i ≤   - P o n t o   c r i t i c o   o u   r i ≥ P o n t o   C r i t i c o . Nós temos isso

r 1 = 0.16   ∈ - 0.2 ,   0.2

r 2 = - 0.09   ∈ - 0.2 ,   0.2

r 3 = - 0.15 ∈ - 0.2 ,   0.2

e podemos concluir que aceitamos hipóteses nulas para todo i = 1,3 ¯

(c)

Na parte (b) se testarmos simultaneamente mais de 1 defasagem, queremos aumentar a constante de corte 2 na região de rejeição porque precisamos de um valor crítico menor para os critérios de aceitação ou rejeição das hipóteses nulas. Ele precisa ser mais exato e, como podemos ver, para testar 3 defasagens, aceitamos todas as três hipóteses nulas. Se usarmos um valor maior do que provavelmente rejeitaremos algumas hipóteses nulas.

Resposta

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