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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 2.Exercícios Suplementares - Ex. 104

Um método usado para distinguir rochas graníticas (G) e basálticas (B) é examinar uma parte do espectro infravermelho da energia solar refletida na superfície da rocha. Sejam R 1 ,   R 2   e   R 3 as intensidades de espectro medidas em três diferentes comprimentos de onda. Normalmente, para granito, R 1 ,     R 2 , R 3 , enquanto para basalto R 3 ,     R 1 ,   R 2 . Quando as medidas são feitas de forma remota (usando aeronaves), podem surgir diversas ordenações de Ri s, se a rocha for basalto ou granito. Voos sobre regiões de composição conhecida resultaram nas seguintes informações:

Suponha que, para uma rocha selecionada aleatoriamente em determinada região, P(granito) 0,25 e P(basalto) = 0,75.

a. Mostre que P(granito |R1

b. Se as medidas forneceram R1

c. Usando as regras de classificação indicadas nas partes (a) e (b), ao selecionar uma rocha dessa região, qual é a probabilidade de uma classificação errada? [Sugestão: G pode ser classificado como B ou B como C e P(B) e P(G) são conhecidos].

d. Se P(granito) = p em vez de 0,25, há valores de p (diferentes de 1) para os quais uma pessoa sempre classificaria uma rocha como granito?

Passo 1

Beleza meus bacanos?! Espero que esteja tudo bem com vocês, vamos dar início a mais uma resolução com o padrão de qualidade do responde aí.

O enunciado da questão nos dá a seguinte tabela

  1. P   G   R 1 < R 2 < R 3 ) = 0.15 0.15 + 0.075   0.67

    2. P   B   R 1 < R 2 < R 3   ) = 0.33

    Passo 2

  2. P   G   R 1 < R 3 < R 2 ) = 0.0625 0.2125 = 0.2941 < 0.05 , então classifique como basalto

    3. P   G   R 3 < R 1 < R 2 ) = 0.0375 0.5625 = 0.0667 , então classifique como basalto.

  3. A probabilidade de uma classificação errada é

    4. P c l a s s i f i c a ç ã o   e r r ô n e a = P ( B   c l a s s i f i c a d o   c o m o   G ∪ ( G   c l a s s i f i c a d o   c o m o   B )

    = P ( B   c l a s s i f i c a d o   c o m o   G + ( G   c l a s s i f i c a d o   c o m o   B )

    = P B   c l a s s i f i c a d o   c o m o   G B P B + P B   c l a s s i f i c a d o   c o m o   B G P G

    = P R 123 B P B + P R 123 ∪ R 321 G P G

    = 0.1 ∙ 0.75 + 0.25 + 0.15 0.25

    = 0.175

  4. Precisamos encontrar tal probabilidade que classifique sempre uma rocha como granito. Então, na verdade, precisamos encontrar pp para o qual

Nestes casos, sempre classificaríamos uma rocha como granito (ver (a) e (b)). Do primeiro temos que

Da mesma forma, para os outros dois,

onde, de P G R 132 > 0 . 5 , o seguinte é verdadeiro

e, de P G R 312 > 0.5 , o seguinte é verdadeiro

Como todos os três mencionados devem ser satisfeitos, temos que pegar aquele que é o maior, e é p>0,824.

Para concluir, para qualquer p>0,824 uma rocha sempre será classificada como granito.

Resposta

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