9 Considere três classes, cada uma dela formada por n estudantes. Deste grupo de 3n estudantes, deve-se escolher um grupo de 3 estudantes.

(a) Quantas escolhas são possíveis?

(b) Existem quantas escolhas nas quais

todos os 3 estudantes vêm da mesma

classe?

(c) Existem quantas escolhas nas quais

2 dos 3 estudantes estão na mesma

classe e o outro está em uma classe

diferente?

(d) Existem quantas escolhas nas quais

todos os 3 estudantes estão em classes

diferentes?

(e) Usando os resultados das letras (a) a

(d), escreva uma identidade combinatória.

b) Para pegarmos um grupo de pessoas de uma classe com pessoas, podemos fazer isto de formas. E como este grupo pode ser ou da primeira ou da segunda ou da terceira sala usaremos o princípio aditivo:

c) Primeiro vamos escolher uma sala para escolher estudantes ( possibilidades ), e depois vamos escolher uma outra sala para escolher a última pessoa ), e nesta sala vamos escolher uma pessoa (possibilidades ). Então pelo PFC:

d) Para classes diferentes vamos ter formas de escolher uma pessoa de cada turma.

e) No item “a” calculamos todas as formas de se escolher estas 3 pessoas, e depois calculamos com todas as restrições de escolhas, então ao somar as respostas da “b”, “c” e “d” devemos obter o resultado da “a”.

Sendo esta a igualdade procurada.