9 Considere três classes, cada uma dela formada por n estudantes. Deste grupo de 3n estudantes, deve-se escolher um grupo de 3 estudantes.

(a) Quantas escolhas são possíveis?

(b) Existem quantas escolhas nas quais

todos os 3 estudantes vêm da mesma

classe?

(c) Existem quantas escolhas nas quais

2 dos 3 estudantes estão na mesma

classe e o outro está em uma classe

diferente?

(d) Existem quantas escolhas nas quais

todos os 3 estudantes estão em classes

diferentes?

(e) Usando os resultados das letras (a) a

(d), escreva uma identidade combinatória.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos formar grupos.

a) Para formarmos grupos de 3 estudantes dentre os 3 n estudantes. Basta calcularmos o número binomial 3 n 3 .

Passo 2

b) Para pegarmos um grupo de 3 pessoas de uma classe com n pessoas, podemos fazer isto de n 3 formas. E como este grupo pode ser ou da primeira ou da segunda ou da terceira sala usaremos o princípio aditivo:

n 3 + n 3 + n 3 = 3 n 3

Passo 3

c) Primeiro vamos escolher uma sala para escolher 2 estudantes ( 3 n 2 possibilidades ), e depois vamos escolher uma outra sala para escolher a última pessoa ( 2   p o s s i b i l i d a d e s   ), e nesta sala vamos escolher uma pessoa ( n 1 possibilidades ). Então pelo PFC:

2 n 1 ⋅ 3 n 2

Passo 4

d) Para classes diferentes vamos ter n 1 3 = n 3 formas de escolher uma pessoa de cada turma.

e) No item “a” calculamos todas as formas de se escolher estas 3 pessoas, e depois calculamos com todas as restrições de escolhas, então ao somar as respostas da “b”, “c” e “d” devemos obter o resultado da “a”.

3 n 3 = 3 n 3 + 6 n 1 n 2 + n 1 3

Sendo esta a igualdade procurada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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