Enunciado

Considere uma variável aleatória X   ~   G 0,8 . Construa uma nova variável Y tal que Y = X para os valores 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   5 e Y = 6 para X ≥ 6 . Dessa forma, Y corresponde ao truncamento de X a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a função de probabilidade de Y e calcule:

  1. P Y = 2 .
  2. O valor da função de distribuição (acumulada) no ponto 2,5.
  3. P Y = 3 Y ≤ 5 .
  4. P ( Y ≥ 3   e   X < 8 ) .

Passo 1

E aqui nos encontramos de novo!

Temos uma distribuição geométrica no problema, olha a notação referente a ela X ~ G p . Sua distribuição é dada por:

P X = x = p 1 - p x

Vamos lá, sabemos que para X = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   5 a variável Y será igual a X, daí, em (a), temos que:

P Y = 2 = P X = 2 = 0,8 ⋅ 1 - 0,8 2 = 0,032

Passo 2

Já em (b), queremos saber o valor da função de distribuição acumulada no ponto 2,5. Aí nos perguntamos, como assim?

Vamos lá, a alternativa nada mais quer que P ( X < 3 ) , não colocamos 2,5 pois não temos meio evento, ou seja:

P X < 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

P X < 3 = 0,8 ⋅ 0,2 0 + 0,8 ⋅ 0,2 1 + 0,8 ⋅ 0,2 2 = 0,992

Passo 3

Em (c), teremos que:

P Y = 3 Y ≤ 5 = P X = 3 Y ≤ 5 = P X = 3 ∩ P X ≤ 5 P X ≤ 5

Daí,

P Y = 3 Y ≤ 5 = P X = 3 + P X = 4 + P ( X = 5 ) P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P ( X = 5 )

Assim,

P Y = 3 Y ≤ 5 = 0,8 ⋅ 0,2 3 + 0,8 ⋅ 0,2 4 + 0,8 ⋅ 0,2 5 0,8 ⋅ 0,2 0 + 0,8 ⋅ 0,2 1 + 0,8 ⋅ 0,2 2 + 0,8 ⋅ 0,2 3 + 0,8 ⋅ 0,2 4 + 0,8 ⋅ 0,2 5

Com isso,

P Y = 3 Y ≤ 5 = 7,93 × 10 - 3 0,999 = 8,01 × 10 - 3

Passo 4

Em (d) queremos P ( Y ≥ 3   e   X < 8 ) , vamos lembrar que no enunciado temos que Y = 6   p a r a   X ≥ 6 , assim:

P Y ≥ 3   e   X < 8 = P Y ≥ 3   e   Y = 6 = P Y = 3 + P Y = 4 + P Y = 5 + P ( Y = 6 )

Assim,

P Y ≥ 3   e   X < 8 = 0,8 ⋅ 0,2 3 + 0,8 ⋅ 0,2 4 + 0,8 ⋅ 0,2 5 + 0,8 ⋅ 0,2 6

P Y ≥ 3   e   X < 8 = 7,98 × 10 - 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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