A cada noite, diferentes metereologistas nos fornecem a “probabilidade” de que irá chover no dia seguinte. Para avaliar o quão boas são estas previsões, é possível atribuir-se escores a cada um desses metereologistas, como segue: se o meteorologista diz que irá chover no dia seguinte com probabilidade p , então ele receberá um escore de 1 - 1 - p 2 se chover no dia seguinte e de 1 - p 2 se não chover.

Acompanhando os escores obtidos pelos metereologistas durante um certo período de tempo, podemos concluir que o meteorologista com maior escore médio é aquele que melhor prediz o tempo. Suponha agora que um certo meteorologista esteja ciente deste procedimento de escores e deseje maximizar seu escore esperado num determinado dia. Se este meteorologista acredita que de fato irá chover no dia seguinte com probabilidade p * , qual o valor de p que ele deve dizer para maximizar seu escore esperado? (Interprete o resultado)

Passo 1

Eae pessoal, tudo tranquilo? Estamos aqui para resolver mais uma questão de estatística. Prontos ou não, bora lá!!

Bem, para começar por aqui, devemos verificar que o exercício nos dá uma dica de como começar, pois ele nos diz que o que define a melhor previsão do tempo é aquele de maior escore médio, ou seja, que a média entre as probabilidades para caso chova e caso não chova atinjam seus maiores valores. Sendo assim,

E P = p * 1 - 1 - p 2 + ( 1 - p * ) ( 1 - p 2 )

Onde consideramos com p * o caso de chover no dia seguinte e ( 1 - p * ) o caso de não chover.

Passo 2

Desta forma pessoal, fica tranquilo maximizar nossa equação, basta derivarmos em relação a p   e igualarmos a zero, mas antes podemos abrir as continhas para facilitar, e assim obtemos:

E P = - p 2 + 2 p p * - p * + 1

Derivando esta equação em relação a p e igualando a zero temos:

0 =   - 2 p + 2 p *

Sendo assim:

p = p *

Isso que dizer que o valor de p que ele deve dizer para maximizar seu escore é exatamente o valor de p * .

Resposta

p = p *

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