Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 42
A cada noite, diferentes metereologistas nos fornecem a “probabilidade” de que irá chover no dia seguinte. Para avaliar o quão boas são estas previsões, é possível atribuir-se escores a cada um desses metereologistas, como segue: se o meteorologista diz que irá chover no dia seguinte com probabilidade , então ele receberá um escore de se chover no dia seguinte e de se não chover.
Acompanhando os escores obtidos pelos metereologistas durante um certo período de tempo, podemos concluir que o meteorologista com maior escore médio é aquele que melhor prediz o tempo. Suponha agora que um certo meteorologista esteja ciente deste procedimento de escores e deseje maximizar seu escore esperado num determinado dia. Se este meteorologista acredita que de fato irá chover no dia seguinte com probabilidade , qual o valor de que ele deve dizer para maximizar seu escore esperado? (Interprete o resultado)
Passo 1
Eae pessoal, tudo tranquilo? Estamos aqui para resolver mais uma questão de estatística. Prontos ou não, bora lá!!
Bem, para começar por aqui, devemos verificar que o exercício nos dá uma dica de como começar, pois ele nos diz que o que define a melhor previsão do tempo é aquele de maior escore médio, ou seja, que a média entre as probabilidades para caso chova e caso não chova atinjam seus maiores valores. Sendo assim,
Onde consideramos com o caso de chover no dia seguinte e o caso de não chover.
Passo 2
Desta forma pessoal, fica tranquilo maximizar nossa equação, basta derivarmos em relação a e igualarmos a zero, mas antes podemos abrir as continhas para facilitar, e assim obtemos:
Derivando esta equação em relação a e igualando a zero temos:
Sendo assim:
Isso que dizer que o valor de que ele deve dizer para maximizar seu escore é exatamente o valor de .