Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 25

A duração (em centenas de horas) de uma lâmpada especial segue o modelo Geométrico com parâmetro p = 0,7 . Determine a probabilidade da lâmpada:

  1. Durar menos de 500 horas.
  2. Durar mais de 200 e menos de 400 horas.
  3. Sabendo-se que vai durar mais de 300 horas, durar mais de 800 horas.
  4. O item anterior é uma aplicação de um resultado geral válido para o modelo Geométrico. Assim, mostre que para X   ~   G ( p ) e quaisquer números inteiros positivos m e n , vale P X > m + n X > m ) = P ( X > n ) .

Passo 1

Temos uma situação que segue o modelo Geométrico, assim, teremos a seguinte função de probabilidade:

P X = k = p 1 - p k

Nosso parâmetro é dado por p = 0,7 , assim:

P X = k = 0,7 ⋅ 0,3 k

Assim, em (a), queremos descobrir a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 500 horas, ou seja, 5 centenas de horas, assim P ( X < 5 ) , logo:

P X < 5 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4

P X < 5 = 0,7 + 0,7 ⋅ 0,3 1 + 0,7 ⋅ 0,3 2 + 0,7 ⋅ 0,3 3 + 0,7 ⋅ 0,3 4

P X < 5 = 0,7 + 0,21 + 0,063 + 0,0189 + 5,67 × 10 - 3 = 0,99757

Passo 2

Já em (b), queremos saber a probabilidade de que a lâmpada dure mais de 200 horas e menos de 400, ou seja, P ( 2 < X < 4 ) , assim:

P 2 < X < 4 = P X = 3 = 0,7 ⋅ 0,3 3 = 0,0189

Passo 3

Em (c) vamos ter uma propriedade da distribuição geométrica, sendo ela a perda de memória. Devido ao fato de as tentativas serem independentes, a contagem do número de tentativas até o próximo sucesso pode ser iniciada em qualquer tentativa, sem mudar a distribuição de probabilidades da v.a.

A implicação de usar um modelo geométrico é que o sistema presumivelmente não será desgastado. A probabilidade de sucesso p permanece constante ao longo do tempo. Assim, temos:

P X > t + s X > s = P X > t

Daí, pelo enunciado da questão, queremos saber P X > 8 X > 3 = P ( X > 8 + 3 | X > 3 ) , assim, pela propriedade da perda de memória,

P X > 8 X > 3 = P X > 8 = P X ≤ 8 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8

Logo,

P X > 8 X > 3 = 0,7 + 0,7 ⋅ 0,3 1 + 0,7 ⋅ 0,3 2 + 0,7 ⋅ 0,3 3 + 0,7 ⋅ 0,3 4 + 0,7 ⋅ 0,3 5 + 0,7 ⋅ 0,3 6 + 0,7 ⋅ 0,3 7 + 0,7 ⋅ 0,3 8

Assim,

P X > 8 X > 3 = 0,9998

Passo 4

Temos para provar o item anterior que,

P X > m + n X > m = P ( X > m + n ; X > m ) P ( X > m ) = P ( X > m + n ) P ( X > m )

A partir disso, vamos introduzir os somatórios de cada probabilidade, assim:

P X > m + n X > m = ∑ k = m + n + 1 ∞ p 1 - p k ∑ j = m + 1 ∞ p 1 - p j

Vamos aplicar algumas propriedades do somatório, daí:

P X > m + n X > m = 1 - p ∑ k = 0 m + n 1 - p k 1 - p ∑ j = 0 m 1 - p j = 1 - p m + n + 1 1 - p m = 1 - p n + 1 = 1 - p ∑ k = 0 n 1 - p k

Daí,

P X > m + n X > m = ∑ k = t + 1 ∞ p 1 - p k = P ( X > n )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma urna contém 9 moedas de prata e 6 moedas de cobre. Selecionadas ao acaso e sem repetição, 3 moedas dessa caixa, qual a probabilidade de obtermos;a) no máximo 2 moedas de prata;b) só moedas de um m
Ocorreu um acidente no estoque de matérias-primas de uma empresa de forma que as 5 unidades da matéria-prima A acabaram misturando-se com as 20 unidades de B e com as 25 unidades de C. Escolhendo-se,
Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Uma amostra de 4 bolas é retirada dessa caixa, com reposição. Calcular a probabilidade de:a) obtermos só bolas da mesma cor;b) em exatamente 2
Numa grande fábrica, sabe-se que 50% dos operários são brasileiros, 30% são alemães e 20% pertencem a outras nacionalidades. Mensalmente são sorteados 10 brindes para os operários, sendo o sorteio fei
As imperfeições em placas de circuito e chips decomputador conduzem a um tratamento estatístico. Paraum tipo específico de placa, a probabilidade de falha dodiodo é de 0,03. Suponha que uma placa de c