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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 42

Considere X e Y vida útil, em anos, de dois componentes em um sistema eletrônico. Se a função de densidade conjunta dessas variáveis é

f x , y = e - ( x + y ) ,                 x > 0 ,         y > 0 0 ,                                   c a s o   c o n t r á r i o

Determine P 0 < X < 1 Y = 2 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nessa questão, vamos precisar encontra a função de densidade marginal antes de calcularmos a probabilidade. Para definirmos a densidade marginal, para a variável Y , temos:

h y = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Definindo a função de densidade marginal pela fórmula do Passo 1:

h y = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 ∞ e - ( x + y ) d x

= e - y ∫ 0 ∞ e - x d x

= e - y - e - ∞ - - e 0

= e - y - 0 + 1

= e - y

Agora, podemos calcular a probabilidade.

P 0 < X < 1 Y = 2 = ∫ 0 1 f ( x | 2 ) d x

= ∫ 0 1 f ( x ,   2 ) h ( 2 ) d x

= ∫ 0 1 e - x + 2 e - 2 d x

= ∫ 0 1 e - x d x

= - e - x 0 1

= 1 - 1 e

P 0 < X < 1 Y = 2 = 0,6321

Resposta

0,6321

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