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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 33

Suponha que um tipo especial de pequena empresa de processamento de dados seja tão especializada que tenha problemas em obter lucro em seu primeiro ano de funcionamento. A função de densidade de probabilidade (fdp) que caracteriza a proporção Y de empresas deste tipo que geram lucro no primeiro ano é dada por

f x = k y 4 1 - y 3 ,                                         0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                                             c a s o   c o n t r á r i o

(a) Qual é o valor de k que faz da fórmula dada uma função de densidade válida?

(b) Determine a probabilidade de que no máximo 50% das firmas tenham lucro no primeiro ano.

(c) Determine a probabilidade de que pelo menos 80% das firmas tenham lucro no primeiro ano.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para que a função de densidade seja válida, ela deve respeitar a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ f y d y = 1

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Usando a definição do Passo 1 para verificar a validade da função:

∫ - ∞ ∞ f y d y = 1

= ∫ 0 1 k y 4 1 - y 3 d y

= k ∫ 0 1 y 4 - 3 y 5 + 3 y 6 - y 7 d y

= k 1 5 y 5 - 1 2 y 6 + 3 7 y 7 - 1 8 y 8 0 1

= k 1 5 - 1 2 + 3 7 - 1 8

k = 280

Passo 3

Nós precisamos encontrar P ( Y ≤ 0 , 5 )

P Y < 0,5 = P ( 0 ≤ Y ≤ 0,5 )

= ∫ 0 0 , 5 280 y 4 1 - y 3 d y

= 280 ∫ 0 0,5 y 4 - 3 y 5 + 3 y 6 - y 7 d y

= 280 1 5 y 5 - 1 2 y 6 + 3 7 y 7 - 1 8 y 8 0 0,5

= 280 1 5 0,5 5 - 1 2 0,5 6 + 3 7 0,5 7 - 1 8 0,5 8

P Y < 0 , 5 = 93 256

Passo 4

Por fim, nós precisamos encontrar P ( Y ≥ 0 , 8 )

Usando a definição de complemento.

P Y ≥ 0 , 8 = 1 - P ( Y < 0 , 8 )

= 1 - ∫ - ∞ 0 , 8 f y d y

= 1 - ∫ 0 0 , 8 280 y 4 1 - y 3 d y

= 1 - 280 1 5 y 5 - 1 2 y 6 + 3 7 y 7 - 1 8 y 8 0 0 , 8

= 1 - 280 1 5 0 , 8 5 - 1 2 0 , 8 6 + 3 7 0 , 8 7 - 1 8 0 , 8 8

P Y ≥ 0 , 8 = 0 , 0 563

Resposta

(a) k = 280

(b) 93 / 256

(c) 0,0 563

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