Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 27
Uma urna contém inicialmente 1 bola vermelha e 1 bola azul. Em cada rodada, uma bola é retirada aleatoriamente e substituída por duas outra bolas de mesma cor (por exemplo, se a bola vermelha ê a primeira a ser escolhida, então haverá 2 bolas vermelhas e 1 bola azul na urna quando ocorrer a próxima seleção). Mostre por indução matemática que a probabilidade de que existam exatamente bolas vermelhas na urna após rodadas é de
Passo 1
O resultado é verdadeiro para representando o evento em que há bolas vermelhas na urna após a -ésima rodada, suponha que
Agora, suponha que , represente o evento em que há bolas vermelhas na urna após a -ésima rodada. Então,
Como há bolas na urna após a -ésima rodada, tem-se que é a probabilidade de que uma bola vermelha seja escolhida quando das 2 bolas na urna são vermelhas, e é a probabilidade de que uma bola vermelha não seja escolhida quando das bolas na urna são vermelhas. Consequentemente,
Substituindo esses resultados na equação para , obtemos
o que completa a demonstração por indução.