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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 8a

A v.a. contínua X tem f.d.p

f x = 3 x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Se b for um número que satisfaz –1 , calcule P(X > b| X .

Passo 1

(a) Se b for um número que satisfaz –1 , calcule P ( X   >   b | X <   b / 2 ) .

Eta! Já temos que calcular uma condicional

Mas vocês lembram como é uma condicional? Vamos relembrar juntos? 😉

P A B = P A ∩ B P B

Nesse caso, queremos P X > b X <   b / 2 ) . Para nos ajudar vamos dar nomes aos termos, ok?

  • Evento A: x > b
  • Evento B: x < b 2
  • Evento A ∩ B : b < x < b 2

Assim

P A B ) = P X   >   b X < b 2 = P b < x < b 2 P x < b 2

Passo 2

Vamos calcular cada um separadamente e depois juntar:

i) P x < b 2

Note que se b está no intervalo - 1 < b < 0 , então b 2 também está, portando podemos integrar normalmente.

Integrando...

P x < b 2 = ∫ - 1 b 2 3 x 2   d x = x 3 - 1 b 2 = b 3 8 + 1

ii) P b < x < b 2

Como x está novamente naquele intervalo, podemos integrar normalmente. Só precisamos lembrar que como b é um número negativo, b 2 é MAIOR que b .

P b < x < b 2 = ∫ b b 2 3 x 2   d x = x 3 b b 2 = b 3 8 - b 3

Finalmente, podemos juntar (i) e (ii):

P X   >   b X < b 2 = P b < x < b 2 P x < b 2 = b 3 8 - b 3 b 3 8 + 1

Resolvendo o MMC em cima e embaixo da fração, teremos:

b 3 - 8 b 3 8 b 3 + 8 8 = b 3 - 8 b 3 b 3 + 8 = - 7 b 3 b 3 + 8

Resposta

  1. P X   >   b X < b 2 = - 7 b 3 b 3 + 8
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