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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 4

Dada uma distribuição com μ = 30 e σ = 6 , determine:

  1. a área da curva normal à direita de x = 17 ;
  2. a área da curva normal à esquerda de x = 22 ;
  3. a área da curva normal entre x = 32   e   x = 41 ;
  4. O valor de x que tem 80 % da área da curva normal à esquerda;
  5. Os dois valores de x que contem 75 % da área do meio da curva normal

Passo 1

Fala galera prontos para mais um exercício de probabilidade? Vamos nessa!

Para resolvermos esse exercício lembremos que:

Z = X - μ σ

Agora vamos ao item a)

Queremos a área da curva normal à direita de x = 17 .

Para tal, descobriremos o valor de Z :

Z = 17 - 30 6 = - 2,17

Como queremos a área à direita, e os valores tabelados nos dão a área à esquerda, usaremos a relação:

P Z ≥ - 2,17 = 1 - P Z ≤ - 2,17 = 1 - 0.0150 = 0.9850

Nesse último passo, nós simplesmente substituímos P Z ≤ - 2,17 pelo valor tabelado encontrado.

Vamos aproveitar e já fazer o item b)

Queremos a área da curva normal à esquerda de x = 22 .

Para isso, descobriremos o valor de Z:

Z = 22 - 30 6 = - 1,33

Queremos a área à esquerda, logo P Z ≤ - 1,33 , valor este que é tabelado.

Logo

P Z ≤ - 1,33 = 0.0918

Passo 2

Agora o item c)

Queremos a área da curva normal entre x = 32   e   x = 41

Para isso descobriremos nossos dois valores de z .

Z 1 = 32 - 30 6 = 0,33

Z 2 = 41 - 30 6 = 1,83

Show! Agora podemos usar a notação mais fácil:

P 0,33 ≤ Z ≤ 1,83 = P Z ≤ 1,83 - P Z ≤ 0,33 = 0,9664 - 0,6293 = 0,3371

Nesse último passo nós simplesmente substituímos os valores, pelos encontrados na tabela.

Vamos agora ao item d).

Neste item nós queremos o valor de x , tal que P Z ≤ z = 0.8

Show! Até agora eu só traduzi os dados para a nossa matemática, agora nós conseguimos ver que temos uma informação que é tabelada P Z ≤ z = 0.8 , com esse dado conseguimos descobrir z , basta pegar o dado da tabela.

Assim, temos z = 0.84

Voltando na nossa expressão que relaciona Z   e   X .

Z = X - μ σ → X = Z σ + μ = 0.84 6 + 30 = 35.04

Passo 3

Por último, vamos fechar com chave de ouro o item e).

Nesse item nós queremos os dois valores de x que contem 75 % da área do meio da curva normal.

N ó s   s a b e m o s   q u e   a   á r e a   d a   c u r v a   v a l e   1 .

E queremos algo bem distribuído, logo com 75% no centro e outros 25% distribuído entre os outros dois lados.

Ou seja 12,5% para cada lado.

Vamos calcular z 1 a partir do seguinte fato:

P Z ≤ z 1 = 0.125

E este valor é tabelado, logo encontramos z 1 = - 1.15

Fazendo processo semelhante para z 2 , teremos:

P Z ≤ z 2 = 0.125 + 0.75 = 0.875

E este valor também é tabelado e vale z 2 = 1,15

Logo, vamos relacionar Z e X .

Z = X - μ σ → X = Z σ + μ

Logo:

X 1 = Z 1 σ + μ = - 1,15 6 + 30 = 23.1

X 2 = Z 2 σ + μ = 1,15 6 + 30 = 36.9

Resposta

a) Área = 0.9850

b) Área = 0.0918

c) P 0,33 ≤ Z ≤ 1,83 = 0,3371

d) x = 35.04

e)   X 1 = 23.1   e   X 2 = 36.9

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