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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 60

A demanda por uso de água em Fênix, em 2003, alcançou um alto valor, de cerca de 442 milhões de galões por dia em 27 de junho de 2003. O consumo de água no verão é distribuído normalmente, com uma média de 310 milhões de galões por dia e um desvio-padrão de 45 milhões de galões por dia. Reservatórios da cidade têm uma capacidade combinada de armazenagem de aproximadamente 350 milhões de galões.

  1. Qual é a probabilidade de que um dia requeira mais água que aquela armazenada nos reservatórios da cidade?
  2. Que capacidade do reservatório é necessária para que a probabilidade dela ser excedida seja 1%?
  3. Qual é a intensidade de uso de água que é excedida com 95% de probabilidade?
  4. Água é fornecida para aproximadamente 1.4 milhão de pessoas. Qual é o consumo médio diário por pessoa no qual a probabilidade da demanda exceder a capacidade atual do reservatório seja igual a 1%? Considere que o desvio-padrão da demanda continue o mesmo.

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 310 e desvio padrão 45.

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 310 45

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Usando a tabela III:

P ( X > 350 ) = P ( Z > 0.89 ) = 1 - Φ ( 0.89 ) = 0.1867

Passo 3

Na letra b:

Vamos escrever a equação:

0.01 = P ( X > x ) = P ( Z > x - 310 45 ) = 1 - Φ ( x - 310 45 )

Simplificando:

Φ ( x - 310 45 ) = 0.99

Vamos concluir a partir da tabela III que:

x - 310 45 = 2.33

Agora vamos resolver essa equação para obter x :

x = 414.85

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a equação:

0.95 = P ( X > y ) = P ( Z > y - 310 45 ) = 1 - Φ ( y - 310 45 )

Simplificando:

Φ ( y - 310 45 ) = 0.05

Vamos concluir a partir da tabela III que:

y - 310 45 = - 1.645

Agora vamos resolver essa equação para obter y :

y = 235.975

Passo 5

Na letra d:

A probabilidade de que a demanda exceda a capacidade atual é dada como:

P ( X > 350 ) = P ( Z > 350 - μ 45 ) = 1 - Φ ( 350 - μ 45 )

Essa probabilidade deve ser 0.01, portanto, continuamos:

0.01 = 1 - Φ ( 350 - μ 45 )

Simplificando:

Φ ( 350 - μ 45 ) = 0.99

Vamos concluir a partir da tabela III que:

350 - μ 45 = 2.33

Agora vamos resolver essa equação para obter μ :

μ = 245.15

Finalmente, vamos calcular o consumo por pessoa:

245.15 × 1 0 6 g a l õ e s 1.4 × 1 0 6 p e s s o a s = 175.1 g a l õ e s / p e s s o a

Resposta

  1. 0.1867
  2. 411.85
  3. 235.975
  4. 175.1
Ver Outros Exercícios desse livro

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