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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 33

Suponha que o diâmetro de certo tipo de árvores na altura do tronco tenha distribuição normal com μ = 8,8 e σ = 2,8 , conforme sugerido pelo artigo "Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning" (Forest Products J., May 1997, p. 36-41).

a. Qual é a probabilidade de uma árvore selecionada aleatoriamente ter um diâmetro de no mínimo 10 polegadas? Exceder 10 polegadas?

b. Qual é a probabilidade de o diâmetro de uma árvore selecionada aleatoriamente exceder 20 polegadas?

c. Qual é a probabilidade de o diâmetro de uma árvore selecionada aleatoriamente estar entre 5 e 10 polegadas?

d. Que valor c faz com que o intervalo ( 8,8 - c , 8,8 + c ) inclua 98 % de todos os valores de diâmetro?

e. Se quatro árvores forem selecionadas de forma independente, qual é a probabilidade de ao menos uma ter diâmetro maior que 10 polegadas?

Passo 1

Qual é a probabilidade de uma árvore selecionada aleatoriamente ter um diâmetro de no mínimo 10 polegadas? Exceder 10 polegadas?

a. P ( X ≥ 10 ) = P ( Z ≥ 43 ) = 1 - Φ ( 43 ) = 1 - . 6664 = 3336

P ( X > 10 ) = P ( X ≥ 10 ) = 3336 ,   uma vez que para qualquer distribuição contínua ,   P ( x = a ) = 0 .

Passo 2

b .   P ( X > 20 ) = P ( Z > 4 ) ≈ 0

Passo 3

c .   P ( 5 ≤ X ≤ 10 ) = P ( - 1.36 ≤ Z ≤ . 43 ) = Φ ( . 43 ) - Φ ( - 1.36 ) = . 6664 - . 0869 = . 5795

Passo 4

d .   P ( 8.8 - c ≤ X ≤ 8.8 + c ) = 98 , então 8,8-c e 8,8+c estão no 1 s t e no 99 t   h percentil da distribuição dada, respectivamente. O percentil 1 s t da distribuição normal padrão tem o valor -2.33, então

8.8 - c = μ + ( - 2.33 ) o = 8.8 - 2.33 ( 2.8 ) ⇒ c = 2.33 ( 2.8 ) = 6.524

Passo 5

e. De a,   P ( x > 10 ) = 3336 . Defina o evento A como { diâmetro > 10}, então P   e m   p e l o   m e n o s   u m   A 1

1 - P   n o   A i = 1 - P A ' 4 = 1 - ( 1 - . 3336 ) 4 = 1 - . 1972 = . 8028

Resposta

a. 3336

b. 0

c. 5795

d. 6.524

e. 8028

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