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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 46

Suponha que X seja distribuída normalmente, com um média de 10 e um desvio-padrão de 2. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguintes itens:

  1. P ( X > x ) = 0.5
  2. P ( X > x ) = 0.95
  3. P ( x < X < 10 ) = 0.2
  4. P ( - x < X - 10 < x ) = 0.95
  5. P ( - x < X - 10 < x ) = 0.99

Passo 1

Letra a:

P ( X > x ) = 0.5 quando x = 10 devido à simetria da Distribuição Normal, mas também podemos fazer o seguinte:

P ( Z > x - 10 2 ) = 0.5

Encontramos z = 0.00 na tabela, portanto x - 10 2 = 0 , e então x = 10 .

Passo 2

Letra b:

P ( X > x ) = P ( Z > x - 10 2 ) = 1 - P ( Z < x - 10 2 ) = 0.95

Portanto

P ( Z < x - 10 2 ) = 0.05 , olhamos na tabela e encontramos z =   - 1.64 para 0.05, consequentemente:

x - 10 2 = - 1.64

x = 6.72

Passo 3

Letra c:

P ( x < X < 10 ) = 0.2

P ( x - 10 2 < Z < 10 - 10 2 ) = P ( x - 10 2 < Z < 0 ) = P ( Z < 0 ) - P ( Z < x - 10 2 )

A partir da tabela sabemos que P ( Z < 0 ) = 0.5

0.5 - P ( Z < x - 10 2 ) = 0.2

P ( Z < x - 10 2 ) - 0.3

e a partir da tabela sabemos que z = 0.52

x - 10 2 = - 0.52

x = 8.96

Passo 4

Letra d:

P ( - x < X - 10 < x ) = 0.95

P ( 10 - x < X < 10 + x ) = 0.95

P ( ( 10 - x ) - 10 2 < Z < ( x + 10 ) - 10 2 ) = P ( - x 2 < Z < x 2 ) = 0.95

Nos 2 lados fora da área vamos ter 0.05, por causa da simetria de 0.025 de cada lado. Portanto,

P ( Z < x 2 ) = 0.95 + 0.025

P ( Z < x 2 ) = 0.975

na tabela nós achamos que z = 1.96

Agora podemos calcular o valor de x :

x 2 = 1.96

x = 3.92

Passo 5

Letra e:

P ( - x < X - 10 < x ) = 0.99

P ( 10 - x < X < x + 10 ) = 0.99

P ( ( 10 - x ) - 10 2 < Z < ( x + 10 ) - 10 2 ) = P ( - x 2 < Z < x 2 ) = 0.99

Usando a mesma análise do último exercício, procuramos 0.995 na tabela e encontramos z = 2.58 . Sabendo z , podemos agora calcular x .

x 2 = 2.58

x = 5.16

Resposta

  1. x = 10 .
  2. x = 6.72
  3. x = 8.96
  4. x = 3.92
  5. x = 5.16
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