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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 62

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído, com uma média de 0.002 polegada e um desvio-padrão de 0.0004 polegada.

  1. Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto exceder 0.0026 polegada?
  2. Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto estar entre 0.0014 e 0.0026 polegada?
  3. Que desvio-padrão do diâmetro é necessário para que a probabilidade do item (b) seja 0.995?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 0.002 e desvio padrão 0.0004.

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 0.002 0.0004 = 2500 X - 5

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Usando a tabela III:

P ( X > 0.0026 ) = P ( Z > 1.5 ) = 1 - ɸ ( 1.5 ) = 0.067

Passo 3

Na letra b:

P ( 0.0014 < X < 0.0026 ) = P ( - 1.5 < Z < 1.5 ) = 2 ɸ ( 1.5 ) - 1 = 0.866

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a equação:

0.995 = P ( 0.0014 < X < 0.0026 ) = P ( 0.0014 - 0.002 σ < Z < 0.0026 - 0.002 σ ) =

= P ( - 0.0006 σ < Z < 0.0006 σ ) = 2 Φ ( 0.0006 σ ) - 1

Simplificando:

Φ ( 0.0006 σ ) = 0.9975

Vamos concluir a partir da tabela III que:

0.0006 σ = 2.81

Agora vamos resolver essa equação para obter σ :

σ = 0.0002135

Resposta

  1. 0.067
  2. 0.866
  3. 0.0002135
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