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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 14

Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta

f x , y = x 5 + c y ,     0 < x < 1 ,   1 < y < 5 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Onde c é uma constante.

(a) Qual é o valor de c?

(b) X e Y são independentes?

(c) Determine P{X + Y > 3)

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Para acharmos o valor de c, vamos aplicar a integral com os limites do enunciado:

1 = ∫ 0 1 ∫ 1 5 x 5 + c y d y d x

Integrando primeiro em relação a y e calculando os intervalos:

1 = ∫ 0 1 x y 5 + c y 2 2 1 5 d x

1 = ∫ 0 1 4 x 5 + 12 C d x

Agora integrando em relação a x e calculando:

1 = 2 x 2 5 + 12 C x 0 1

1 = 2 5 + 12 C

C = 1 20

Passo 2

Show, agora vamos verificar se são independentes. Como já achamos o valor de c no passo 1, vamos substituir:

C = 1 20

f x , y = x 5 + c y ,     0 < x < 1 ,   1 < y < 5 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Logo:

f x , y = x 5 + y 20 ,     0 < x < 1 ,   1 < y < 5 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

f x , y = 4 x + y 20 ,     0 < x < 1 ,   1 < y < 5 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Beleza, vamos agora calcular a densidade de X :

f X x = ∫ 1 5 4 x + y 20 d y

Integrando em relação a y e calculando os intervalos:

f X x = 1 20 4 x y + y ² 2 1 5

f X x = 1 20 20 x + 25 2 - 4 x - 1 2 = 4 x + 3 5

Show, agora vamos fazer o mesmo processo para a densidade de Y :

f Y y = ∫ 0 1 4 x + y 20 d x

Integrando em relação a x e calculando os intervalos:

f Y y = 1 20 4 x 2 2 + x y 0 1

f Y y = 1 20 2 + y = y + 2 20

Agora vamos multiplicar as densidades:

f X x × f Y y = 4 x + 3 5 y + 2 20

f X x × f Y y = 8 x + 4 x y + 6 + 3 y 100

Logo, X   e   Y não são independentes.

Passo 3

Beleza, vamos determinar agora P{X + Y > 3):

P X + Y > 3 = ∫ 0 1 ∫ 3 - x 5 x 5 + y 20 d y d x

Integrando em relação a y e calculando os intervalos:

P X + Y > 3 = ∫ 0 1 x y 5 + y 2 40 3 - x 5 d x

P X + Y > 3 = ∫ 0 1 x 2 5 + x 10 + 25 40 - 3 - x 2 40 d x

Integrando em relação a x e calculando os intervalos:

P X + Y > 3 = x 3 15 + x 2 20 + 25 x 40 + 3 - x 3 120 0 1

P X + Y > 3 = 11 15

Resposta

a )   C = 1 20

b )   N ã o   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

c )   P X + Y > 3 = 11 15

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