Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 32
Distribuição amostral da diferença de duas médias. Consideremos duas populações X com parâmetros e Y com parâmetros . Sorteiam-se duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho m. Calculam-se as médias amostrais e .
(a) Qual a distribuição amostral de ? E ?
(b) Defina. O que você entende por distribuição amostral de D?
(c) Calcule E(D) e Var(D).
(d) Como você acha que será a distribuição de D? Por quê?
Passo 1
(a) Qual a distribuição amostral de ? E ?
Vamos lembrar o que o Teorema do Limite Central nos diz?
“Para amostras aleatórias simples , retiradas de uma população com média e variância finita, a distribuição amostral da média aproxima-se, para grande, de uma distribuição normal, com média e variância .”
Logo, pelo TCL, para e grandes: e . Caso X e Y tiverem distribuição normal essas distribuições serão exatas 😉.
Passo 2
(b) Defina. O que você entende por distribuição amostral de D?
Como são sorteadas duas amostras independentes: a da primeira população de tamanho n e a da segunda de tamanho.
D é a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.
Passo 3
(c) Calcule E(D) e Var(D).
Sabemos que , certo?
Pelo Teorema 10.1, temos
Seja uma v.a. com média e variância , e seja uma AAS de . Então,
Logo,
Passo 4
(d) Como você acha que será a distribuição de D? Por quê?
Normal, com média e variância dadas em (c), pois D é uma diferença entre variáveis com distribuição (aproximadamente) normal.
Resposta
(a) Pelo TLC e
(b) D é a distribuição das diferenças entre as médias de todos os possíveis pares de amostras de X e Y com tamanhos n e m, respectivamente.
(c)
(d) Normal, com média e variância dadas em (c), pois D é uma diferença entre variáveis com distribuição (aproximadamente) normal.