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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 22

A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que ir a distribuição de probabilidade imaginar a justiça é uma distribuição contínuo uniforme de 0 a 10. Plote para vários valor de X.

Determine:

Passo 1

Temos o seguinte dado:

f Y | x ( y ) = x e - x y

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição uniforme é o recíproco da diferença dos limites, no intervalo entre os limites (0 em outro lugar):

f ( x ) = 1 b - a

Então, a distribuição de probabilidade marginal de X é:

f X ( x ) = 1 10

Abaixo, o gráfico:

Passo 2

Letra b:

A probabilidade condicional é a integral da distribuição condicional durante o intervalo determinado:

P ( Y < 2 | X = 2 ) = ∫ 0 2 f Y | x = 2 ( y ) d y = 0.9817

Passo 3

Letra c:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( Y | X = 2 ) = 0.5

Passo 4

Letra d:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) .

E ( Y | X = x ) = 1 x

Passo 5

Letra e:

A definição de função de densidade de probabilidade condicional:

f Y | x ( y ) = f X Y ( x , y ) f X ( x )

Resolva a equação para f X Y ( x , y ) :

f X Y ( x , y ) = f Y | x ( y ) f X ( x )

Preencha as expressões conhecidas e avalie:

f X Y ( x , y ) = f Y | x ( y ) f X ( x ) = x e - x y 1 10 = 1 10 x e - x y

Passo 6

Letra f:

A distribuição marginal de Y é f X Y integrada em todos os valores possíveis de X (que sabemos estar entre 0 e 10 por sua distribuição marginal):

f Y ( y ) = ∫ 0 10 f X Y ( x , y ) d x = 1 - e - 10 y ( 1 + 10 y ) 10 y 2

Resposta

  1. Olhar gráfico
  2. 0.9817
  3. 0.5

    4. 1

  4. 0.9938
  5. f X Y ( x , y ) = 1 10 x e - x y
  6. f Y ( y ) = 1 - e - 10 y ( 1 + 10 y ) 10 y 2
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