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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 107

A probabilidade de um espécime de laboratório conter altos níveis de contaminação é 0,10. Cinco amostras são verificadas, sendo elas independentes.

  1. Qual é a probabilidade de nenhum espécime conter altos níveis de contaminação?
  2. QUal é a probabilidade de exatamente um espécime conter altos níveis de contaminação?
  3. Qual é a probabilidade de pelo menos um espécime conter altos níveis de contaminação?

Passo 1

Temos:

A = { e s p é c i e   c o n t é m   a l t o s   n í v e i s   d e   c o n t a m i n a ç ã o }

P ( A ) = 0.1

Seja:

A i = { a     i - é s i m o   e s p é c i e   c o n t é m   a l t o s   n í v e i s   d e   c o n t a m i n a ç ã o }

P ( A i ) = 0.1

Passo 2

Letra a:

O evento em que nenhum contém altos níveis de contaminação pode ser representado como a interseção

A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A 3 ' ∩ A 4 ' ∩ A 5 '

Portanto:

P ( A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A 3 ' ∩ A 4 ' ∩ A 5 ' ) = P ( A 1 ' ) × P ( A 2 ' ) × P ( A 3 ' ) × P ( A 4 ' ) × P ( A 5 ' )

= 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 = 0.5905

porque os eventos A i , i = 1,2 , 3,4 , 5 são independentes, os eventos A i ' ,   i = 1,2 , 3,4 , 5 são independentes (ver proposição abaixo). A partir da independência, nós podemos aplicar a propriedade de multiplicação fornecida abaixo.

Uma vez que para qualquer evento A ,   P ( A ' ) = 1 - P ( A ) , nós temos que:

P ( A i ) = 1 - 0.1 = 0.9

para todo i = 1,2 , 3,4 , 5

Passo 3

Letra b:

O evento em que exatamente um contém altos níveis de contaminação pode ser representado como união disjunta de eventos

∩ i ≠ i o A i ' ∩ A i 0

para i 0 = 1,2 , 3,4 , 5 . é a interseção de 5 eventos a partir dos quais um deles contém altos níveis de contaminação. A probabilidade de cada um dos cinco eventos podem ser obtida da mesma forma. Por exemplo. para i 0 = 2 o seguinte é verdade:

P ∩ i ≠ 2 A i ' ∩ A 2 = P ( A 1 ' ∩ A 3 ' ∩ A 4 ' ∩ A 5 ' ∩ A 2 )

= P ( A 1 ' ) × P ( A 3 ' ) × P ( A 4 ' ) × P ( A 5 ' ) × P ( A 2 )

= 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.9 × 0.1 = 0.066

os eventos A i ' ,   i = 1,3 , 4,5 e A 2 são independentes, e por causa da independência, podemos usar a propriedade da multiplicação.

Uma vez que precisamos encontrar a probabilidade de união de cinco eventos disjuntos com probabilidade 0.066 (como dissemos, apenas substituindo por qualquer outro i, obtemos a mesma probabilidade para outras interseções), a probabilidade do evento.

E 1 = { e x a t a m e n t e   u m   c o n t é m   a l t o s   n í v e i s   d e   c o n t a m i n a ç ã o }

é

P ( E 1 ) = P ∪ i 0 = 1 5 ∩ i ≠ i 0 A i ' ∩ A i 0

= P ∩ i ≠ 1 A i ' ∩ A 1 + . . . + P ∩ i ≠ 5 A i ' ∩ A 5

= 0.066 + 0.066 + 0.066 + 0.066 + 0.066 = 0.33

Passo 4

Letra c:

Evento em que pelo menos um contém altos níveis de contaminação (denotar como C) é um complemento de evento que nenhum contém altos níveis de contaminação (evento dado em (a)). Portanto

P ( C ) = 1 - P ( C ' ) = 1 - P ( A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A 3 ' ∩ A 4 ' ∩ A 5 ' )

= 0.4095

para qualquer evento A ,   P ( A ' ) = 1 - P ( A )

Resposta

  1. 0.9
  2. 0.33
  3. 0.4095
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