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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 52

Mostre que a integral da função densidade de propriedade de uma distribuição normal viu variado é igual a um. Sugestão: complete o quadrado no expoente e o fato de a integral de uma função desse está de probabilidade normal para uma única variável ser igual a um.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal bivariada é:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 - ρ 2 × e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 - 2 ρ x - μ X y - μ Y σ X σ Y + y - μ Y 2 σ Y 2

Vamos provar assim:

x - μ X 2 σ X 2 - 2 ρ x - μ X y - μ Y σ X σ Y + y - μ Y 2 σ Y 2 = = 1 σ Y y - μ Y + ρ σ Y σ X x - μ X

Temos então, o seguinte:

e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 ⋅ 1 σ Y 2 y - μ Y + ρ σ Y σ X x - μ X 2

Passo 2

Note que:

1 2 π σ X σ Y 1 - ρ 2 = 1 2 π σ X ⋅ 1 2 π σ Y 1 - ρ 2

e também que a primeira função expoente depende apenas de x, que nós iremos usar. Mas antes disso, agora podemos separar a função de densidade de probabilidade no seguinte produto:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2 × × 1 2 π σ Y 1 - ρ 2 e x p ⁡ - y - μ y + ρ σ Y σ X x - μ X 2 2 1 - ρ 2 σ Y 2

Fazendo as devidas manipulações algébricas, chegamos em:

∫ - ∞ ∞   1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2 d x = 1

Resposta

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