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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 79

Considere as variáveis aleatórias X e Y , que representam o número de veículos que chegam a duas esquinas separadas de ruas durante um período de dois minutos. Essas esquinas são razoavelmente próximas uma da outra, então é importante que os engenheiros de tráfego lidem com elas em conjunto, se necessário. A distribuição conjunta de X e Y é

f x , y = 9 6 ∙ 1 4 ( x + y )

Para x = 0 ,   1 ,   2 ,   … , e y = 0 ,   1 ,   2 ,   …

(a) As duas variáveis aleatórias X e Ksão independentes? Explique por que sim ou por que não.

(b) Qual é a probabilidade de que, durante o tempo em questão, menos do que quatro veículos cheguem às duas esquinas?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para definirmos se duas variáveis aleatórias são independentes, elas devem respeitar a seguinte relação:

g x h y = f ( x , y )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Para uma variável aleatória discreta, sua distribuição marginal é calculada da seguinte forma:

g x = ∑ y f ( x ,   y )

= ∑ y = 0 ∞ 9 16 ∙ 1 4 x + y

= 9 16 ( 4 x ) ∑ y = 0 ∞ 1 4 y

= 9 4 x + 2 ∑ y = 0 ∞ 1 4 y

= 9 4 x + 2 ∙ 1 1 - 1 4

g x = 3 4 x + 1

Agora, para a variável aleatória Y , temos:

h y = ∑ x f ( x ,   y )

= ∑ x = 0 ∞ 9 16 ∙ 1 4 x + y

= 9 16 ( 4 y ) ∑ x = 0 ∞ 1 4 x

= 9 4 y + 2 ∑ x = 0 ∞ 1 4 x

= 9 4 y + 2 ∙ 1 1 - 1 4

h y = 3 4 y + 1

Sendo assim, usando a definição que fizemos no Passo 1, vamos verificar a independência das variáveis:

g x h y = 3 4 x + 1 ∙ 3 4 y + 1

= 9 4 x + 1 + ( y + 1 )

= 9 16 ∙ 1 4 x + y

g x h y = f ( x , y )

Portanto, podemos concluir que as variáveis são independentes!!!

Passo 3

Por fim, podemos calcular a probabilidade P ( X + Y < 4 ) .

Como as variáveis X e Y são discretas que assumem valores inteiros não negativos, temos:

P X + Y < 4 = P X + Y = 0 + P X + Y = 1 + P X + Y = 2 + P ( X + Y = 3 )

= f 0,0 + f 1 ,   0 + f 0,1 + f 2,0 + f 1 ,   1 + f 0 ,   2 + f 3 ,   0 + f 2 ,   1 + f 1 ,   2 + f 0 ,   3

= 9 16 1 4 0 + 0 + 1 4 1 + 0 + 1 4 0 + 1 + 1 4 2 + 0 + 1 4 1 + 1 + 1 4 0 + 2 + 1 4 3 + 0 + 1 4 2 + 1 + 1 4 1 + 2 + 1 4 0 + 3

= 9 16 ∙ 7 4

P X + Y < 4 = 63 64

Resposta

(a) As variáveis não são independentes.

(b) 63 / 64

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