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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 53

Se na distribuição t de Student colocarmos ν   =   1 , obteremos a distribuição de Cauchy,

f   x = 1 π × 1 1 + x 2 .

Mostre que E ( X ) não existe.

Passo 1

A distribuição de Cauchy é dada por:

f x = 1 π × 1 1 + x 2

Assim,

E X = 1 π × ∫ - ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x = 1 2 π × ∫ - ∞ ∞ 2 x 1 + x 2 d x

Tomando 1 + x 2 = y ⇒ d y = 2 × x d x , e:

E X = 1 2 π × ∫ - ∞ ∞ 2 x 1 + x 2 d x = 1 2 π × ∫ - ∞ ∞ 1 y d y = 1 2 π × log ⁡ y - ∞ ∞ = ∞ ,

Ou seja, não existe.

Resposta

Como

E X = 1 2 π × ∫ - ∞ ∞ 2 x 1 + x 2 d x = 1 2 π × ∫ - ∞ ∞ 1 y d y = 1 2 π × log ⁡ y - ∞ ∞ = ∞ ,  

Concluímos que E X não existe.

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