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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 55b

Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A (ou seja, ocorre A c   com probabilidade 1   –   p ). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez.

Seja X   = número de repetição do experimento até que se obtenha A pela primeira vez. Então,

P X = j = 1 - p j - 1 × p ,   j = 1,2 , 3 , … ,

Pois se X   =   j , nas primeiras j   –   1 repetições A não ocorrem, ocorrendo na j-ésima.

(b) Mostre que E X = 1 / p   e V a r X = 1 - p / p 2 .

[Sugestão: E X = ∑ j - 1 ∞ j × p X = j = ∑ j - 1 ∞ j × 1 - p j - 1 = p × ∑ j - 1 ∞ d d q   q j ,   com 1 - p = q . ]

Passo 1

Vamos, inicialmente, mostrar que E X = 1 p .

Sabemos que:

E X = p × ∑ j = 1 ∞ 1 - p j - 1 = p × ∑ j = 1 ∞ d d q q j

Onde 1 - p = q .

Além disso,

d d q ∑ j = 1 ∞ q j = d d q q 1 - q  

Pois ∑ j = 1 ∞ q j   converge para q 1 - q .

Assim, E X = p × 1 1 - q 2 = 1 p .

Resposta

Para mostrar que V a r X =   ( 1 - p ) / p 2 , observe que:

V a r X = E X 2 - E X 2 = 2 - p p 2 - 1 p 2 = 1 - p p 2 .

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